Chebychev-Ungl. und Approx. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 100 Studenten nehmen mit einer W von p=0,8 an der ersten Stochastik Klausur teil. Schätze mit Hilfe der Chebychev-Ungleichung ab, dass min. 90 Studenten an der ersten Klausur teilnehmen.
Bestimmen Sie dann den Wert approximativ mit Hilfe des ZGWS. |
Hi,
ich habe die Aufgabe so ein bisschen gelöst, weiß aber nicht, ob alles richtig ist:
Die Chebychev-Ungleichung lautet ja: [mm] P(|X-E(X)|\ge a)\le\bruch{Var(X)}{a^2}
[/mm]
Wir haben jetzt:
E(X)=100*0,8=80 und Var(X)=100*0,8*0,2=16, damit erhalten wir:
[mm] P(|X-80|\ge 10)\le\bruch{16}{100}=0,16
[/mm]
müsste doch so richtig sein, oder?
Weiter gehts. Um den ZGWS anwenden zu können, brauchen wir die Form
[mm] P(|\bruch{X-E(X)}{\wurzel{Var(X)}}|) [/mm] d.h. wir erhalten:
[mm] P(|\bruch{X-80}{\wurzel{16)}}|\ge \bruch{10}{4} [/mm] ) Sei jetzt Z ein standard-normalvereilte ZV. Dann bekommen wir:
[mm] P(|\bruch{X-80}{\wurzel{16)}}|\ge [/mm] 2,5)
[mm] \approx P(|Z|\ge [/mm] 2,5)
= [mm] \Phi (N|2,5)-\Phi [/mm] (-N|2,5)
= [mm] 2*\Phi [/mm] (N|2,5)-1
= 2*(0,99)-1
=0,98
D.h. [mm] P(|\bruch{X-80}{\wurzel{16)}}|\ge [/mm] 2,5) [mm] \approx [/mm] 0,98
Könnt ihr diese Ergebnisse so bestätigen??
Das einzige, wo ich mir unsicher war, ist diese Stelle: [mm] P(|\bruch{X-80}{\wurzel{16)}}|\ge [/mm] 2,5) und zwar das größer gleich Zeichnen [mm] \ge [/mm] . Denn bei uns im Skript haben wir an dieser Stelle ein kleiner gleich [mm] \le [/mm] Zeichen. Was jetzt nicht, ob das egal ist.
Danke für Hilfe.
Grüße
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Hallo,
> 100 Studenten nehmen mit einer W von p=0,8 an der ersten
> Stochastik Klausur teil. Schätze mit Hilfe der
> Chebychev-Ungleichung ab, dass min. 90 Studenten an der
> ersten Klausur teilnehmen.
>
> Bestimmen Sie dann den Wert approximativ mit Hilfe des
> ZGWS.
> Hi,
>
> ich habe die Aufgabe so ein bisschen gelöst, weiß aber
> nicht, ob alles richtig ist:
>
> Die Chebychev-Ungleichung lautet ja: [mm]P(|X-E(X)|\ge a)\le\bruch{Var(X)}{a^2}[/mm]
>
> Wir haben jetzt:
>
> E(X)=100*0,8=80 und Var(X)=100*0,8*0,2=16, damit erhalten
> wir:
>
> [mm]P(|X-80|\ge 10)\le\bruch{16}{100}=0,16[/mm]
>
> müsste doch so richtig sein, oder?
Eigentlich schon.
Ich möchte dich trotzdem darauf aufmerksam machen,
dass du "sehr reichlich" abschätzt:
[mm] $|X-80|\ge [/mm] 10 [mm] \gdw [/mm] X [mm] \le [/mm] 70, X [mm] \ge [/mm] 90$.
Das heißt, du schleppst noch die ganzen Werte kleiner 70, die X annehmen kann, mit und schätzt diese mit ab.
Natürlich gilt eine Abschätzung, die du für [mm] |X-80|\ge [/mm] 10 machst, auch für X [mm] \ge [/mm] 90. Deswegen stimmt dein Ergebnis (also ist nicht falsch im Sinne von "Abschätzen").
Wenn ihr die Tschebyscheff-Ungleichung nur so kennengelernt habt, dann würde ich sagen, ist das Ergebnis auch im Sinne der Aufgabenstellung richtig.
Wenn ihr sie allerdings vorher allgemeiner hattet, kannst du ja versuchen, wirklich nur das abzuschätzen, was du sollst.
(Die Tschebyscheff-Ungleichung sagt nicht nur etwas über den Abstand von X zu E(X) aus).
> Weiter gehts. Um den ZGWS anwenden zu können, brauchen wir
> die Form
>
> [mm]P(|\bruch{X-E(X)}{\wurzel{Var(X)}}|)[/mm] d.h. wir erhalten:
>
> [mm]P(|\bruch{X-80}{\wurzel{16)}}|\ge \bruch{10}{4}[/mm] ) Sei jetzt
> Z ein standard-normalvereilte ZV. Dann bekommen wir:
Das wäre jetzt auf Basis der Tschebyscheff-Ungleichung.
> [mm]P(|\bruch{X-80}{\wurzel{16)}}|\ge[/mm] 2,5)
>
> [mm]\approx P(|Z|\ge[/mm] 2,5)
>
> = [mm]\Phi (N|2,5)-\Phi[/mm] (-N|2,5)
Das ist falsch. Guck mal:
$P(|Z| [mm] \ge [/mm] 2.5) = P(Z [mm] \le [/mm] -2.5 [mm] \mbox [/mm] { oder } Z [mm] \ge [/mm] 2.5) = 1 - P(-2.5 < Z < 2.5) = 1- [mm] \Big(\phi(2.5) [/mm] - [mm] \Phi(-2.5)\Big) [/mm] = [mm] 1-(2*\Phi(2.5) [/mm] - 1) = 2 - [mm] 2*\Phi(2.5)$,
[/mm]
denn es gilt: [mm] $\Phi(x) [/mm] = P(Z [mm] \le [/mm] x)$ !
Hat es dich nicht gewundert, dass bei deinen beiden Ergebnissen jeweils völlig andere Werte rauskommen, obwohl sie dasselbe approximieren sollen?
Gerade bei der Normalapproximation denke ich übrigens, dass du nicht von der Tschebyscheff-Ungleichung ausgehen solltest, sondern eben wirklich so, wie du die normalerweise anwenden würdest. Den Bereich hast du doch gegeben, 90 bis 100.
Grüße,
Stefan
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Hi Stefan.
> Das heißt, du schleppst noch die ganzen Werte kleiner 70, die X annehmen kann, mit und schätzt diese mit ab.
> Natürlich gilt eine Abschätzung, die du für $ [mm] |X-80|\ge [/mm] $ 10 machst, auch für X $ [mm] \ge [/mm] $ 90. Deswegen stimmt dein Ergebnis (also ist nicht falsch im Sinne von "Abschätzen").
> Wenn ihr die Tschebyscheff-Ungleichung nur so kennengelernt habt, dann würde ich sagen, ist das Ergebnis auch im Sinne der Aufgabenstellung richtig.
> Wenn ihr sie allerdings vorher allgemeiner hattet, kannst du ja versuchen, wirklich nur das abzuschätzen, was du sollst.
(Die Tschebyscheff-Ungleichung sagt nicht nur etwas über den Abstand von X zu E(X) aus).
Also wir haben das mit der Tschebyscheff-Ungl. echt nur so kennen gelernt, wie ich es aufgeschrieben habe. Kennen da diese einzige Formel.
> P(|Z| [mm] \ge [/mm] 2.5) = P(Z [mm] \le [/mm] -2.5 [mm] \mbox [/mm] { oder } Z [mm] \ge [/mm] 2.5) = 1 - P(-2.5 < Z < 2.5) = 1- [mm] \Big(\phi(2.5) [/mm] - [mm] \Phi(-2.5)\Big) [/mm] = [mm] 1-(2\cdot{}\Phi(2.5) [/mm] - 1) = 2 - [mm] 2\cdot{}\Phi(2.5)
[/mm]
Ok, da hatte ich mir schon gedacht, dass da was falsch ist. Danke für die Korrektur.
> > $ [mm] P(|\bruch{X-E(X)}{\wurzel{Var(X)}}|) [/mm] $ d.h. wir erhalten:
> > $ [mm] P(|\bruch{X-80}{\wurzel{16)}}|\ge \bruch{10}{4} [/mm] $ ) Sei jetzt
> > Z ein standard-normalvereilte ZV. Dann bekommen wir:
> Das wäre jetzt auf Basis der Tschebyscheff-Ungleichung.
Da diese Aufgaben so eng miteinander verbunden sind, dachte ich, dass man das so machen muss. Wie könnte man es denn sonst machen, nicht auf Basis der Tschebyscheff-Ungleichung???
> Gerade bei der Normalapproximation denke ich übrigens, dass du nicht von der Tschebyscheff-Ungleichung ausgehen solltest, sondern eben wirklich so, wie du die normalerweise anwenden würdest. Den Bereich hast du doch gegeben, 90 bis 100.
Wie gesagt, weiß gerade nicht, wie du das meinst. Meinst du das so:
P(90 [mm] \le \bruch{X-80}{\wurzel{16)}}\le [/mm] 100)
[mm] \approx [/mm] P(90 [mm] \le [/mm] Z [mm] \le [/mm] 100)
= [mm] \Phi [/mm] (N|100)- [mm] \Phi [/mm] (N|90)
Meinst du das so??
Danke für Hilfe.
Grüße
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Hallo Steve,
> Also wir haben das mit der Tschebyscheff-Ungl. echt nur so
> kennen gelernt, wie ich es aufgeschrieben habe. Kennen da
> diese einzige Formel.
Okay, dann sollt ihr es wahrscheinlich so machen.
Ich hoffe, dir ist das "Problem" der Abschätzung trotzdem klar geworden.
> > Gerade bei der Normalapproximation denke ich übrigens,
> dass du nicht von der Tschebyscheff-Ungleichung ausgehen
> solltest, sondern eben wirklich so, wie du die
> normalerweise anwenden würdest. Den Bereich hast du doch
> gegeben, 90 bis 100.
>
> Wie gesagt, weiß gerade nicht, wie du das meinst. Meinst
> du das so:
>
> P(90 [mm]\le \bruch{X-80}{\wurzel{16)}}\le[/mm] 100)
So ähnlich. Du hast dich ein wenig vertan.
Grundsätzlich interessiert uns die Wahrscheinlichkeit
[mm] $P(90\le [/mm] X [mm] \le [/mm] 100)$.
(Mit X binomialverteilt). Nun kommt die Normalapproximation:
$= [mm] P\left(\frac{90 - 80}{\sqrt{16}}\le \frac{X-80}{\sqrt{16}}\le\frac{100-80}{\sqrt{16}}\right)$
[/mm]
$= [mm] P\left(\frac{90 - 80}{4}\le Z \le\frac{100-80}{4}\right)$
[/mm]
[mm] $=\Phi(5) [/mm] - [mm] \Phi(2.5)$
[/mm]
Grüße,
Stefan
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Hi Stefan,
ok vielen dank für die erklärung.
dann nur noch eine kleine Frage, in bezug auf diese aufgabe, denkst du, so wie ich mit der Normalapproximation angefangen habe, ist das so doch auch möglich oder ganz falsch? das würde mich nochmal interesieren, sonst habe ich deine rechnung jetzt auch verstanden.
Grüße
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> dann nur noch eine kleine Frage, in bezug auf diese
> aufgabe, denkst du, so wie ich mit der Normalapproximation
> angefangen habe, ist das so doch auch möglich oder ganz
> falsch?
Meinst du das mit Tschebyscheff?
Das würde ich, wie gesagt, eher nicht so machen.
Es ist zwar grundsätzlich nicht falsch - zwischen der ersten und der zweiten Aufgabe gibt es aber den Unterschied: erst abschätzen, dann approximieren. Approximieren bedeutet ja auch, möglichst nahe am richtigen Ergebnis zu sein. Der Tschebyscheff-Ansatz bezieht aber Werte [mm] \le [/mm] 70 mit ein. Wenn ihr die Ungleichung nur so hattet, mag das dafür okay sein - bei der Normalapproximation sollte man aber diesen "absichtlichen" Fehler nicht miteinbeziehen.
Wenn du deinen Anfang meinst mit
[mm] $P(90\le \frac{X-80}{\sqrt{16}}\le [/mm] 100)$
Wie du schon bei meiner Rechnung gesehen hast, ist das insofern falsch, dass du ganz andere Wahrscheinlichkeit berechnest als gefordert ist.
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:34 So 21.02.2010 | | Autor: | jaruleking |
HI
> Meinst du das mit Tschebyscheff?
> Das würde ich, wie gesagt, eher nicht so machen.
ja genau, das meinte ich. ok dann weiß ich bescheid.
Danke nochmal für die Hilfe.
Grüße
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