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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:46 Do 20.05.2010 | | Autor: | Vertax |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Inverse mithilfe des charakteristischen Polynoms:
[mm] \begin{pmatrix}
-2 & 0 & -1 \\
6 & 1 & 2 \\
9 & 0 & 4
\end{pmatrix} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo ich hab eine Frage zu dieser Aufgabenstellung, und zwar lautet die Formel zur berechnung des Charakteristischen Polynoms ja:
[mm] P_A\left( \lambda \right)= [/mm] det [mm] \left(\lambda E * A \right)
[/mm]
Nun gibt es ja einmal die möglichkeit die det zu berechnen
über die Laplace-Entwicklung nach der zweiten Spalte:
[mm] \left( 1-\lambda \right)det \begin{pmatrix}
-2-\lambda & -1 \\
9 & 4-\lambda \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \left( 1-\lambda \right)\left(-2\lambda+\lambda^2+1\right)
[/mm]
Ausmulitpliziert habe ich raus:
[mm] -\lambda^3+3\lambda^2-3\lambda+1
[/mm]
Als nächses konnte ich einfach [mm] \lambda [/mm] durch die Matrix A ersetzen und die 1 durch die Einheihtsmatrix E.
Das ganze dann noch * [mm] A^{-1} [/mm] und ich hatte das Ergebniss:
[mm] A^{-1} [/mm] = [mm] A^2-3A+3E
[/mm]
Jetzt gibt es aber ja noch die möglichkeit die det zu berechnen indem ich die erste und zweite spalte nocheinmal daneben schreibe und die HD-ND bereche.
[mm] \begin{vmatrix}
-2\lambda & 0 & -1 & -2-\lambda & 0 \\
6 & 1-\lambda & 2 & 6 & 1-\lambda \\
9 & 0 & 4-\lambda & 9 & 0
\end{vmatrix}
[/mm]
Dabei ist mir ein Rechenfehler passiert wodurch ich nicht auf die oben genannte Form vom Laplace kam. (Was meine eigentliche Frage war...)
Ich hatte hier soetwas wie [mm] -\lambda^3+3\lambda+4
[/mm]
was mache ich wenn ich solch eine Form herausbekomme?
Darf ich nur für die 1 die Einheitsmatrix einsetzen?
Was mache ich wenn keine Form herausbekommen wie
[mm] -\left( \lambda-1 \right)^3
[/mm]
sondern eine Form wie:
[mm] \lambda^3-4\lambda^2-\lambda+4
[/mm]
Darf ich da auch einfach für die 4 die Einheitsmatrix einsetzen? Oder wie gehe ich dann weiter vor?
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> Bestimmen Sie die Inverse mithilfe des charakteristischen
> Polynoms:
> [mm]\begin{pmatrix}
-2 & 0 & -1 \\
6 & 1 & 2 \\
9 & 0 & 4
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Hallo ich hab eine Frage zu dieser Aufgabenstellung, und
> zwar lautet die Formel zur berechnung des
> Charakteristischen Polynoms ja:
> [mm]P_A\left( \lambda \right)=[/mm] det [mm]\left(\lambda E * A \right)[/mm]
>
> Nun gibt es ja einmal die möglichkeit die det zu berechnen
> über die Laplace-Entwicklung nach der zweiten Spalte:
>
> [mm]\left( 1-\lambda \right)det \begin{pmatrix}
-2-\lambda & -1 \\
9 & 4-\lambda \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\left( 1-\lambda \right)\left(-2\lambda+\lambda^2+1\right)[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
>
> Ausmulitpliziert habe ich raus:
[mm] P_A(x)=
[/mm]
> [mm]-\lambda^3+3\lambda^2-3\lambda+1[/mm]
>
> Als nächses konnte ich einfach [mm]\lambda[/mm] durch die Matrix A
> ersetzen und die 1 durch die Einheihtsmatrix E.
Nach dem Satz von ... gilt [mm] 0=-3A^3+3A^2-3A [/mm] + E.
> Das ganze dann noch * [mm]A^{-1}[/mm]
Da beißt sich aber die Katze in den Schwanz: Du multiplizierst mit [mm] A^{-1}, [/mm] um zu erfähren, was [mm] A^{-1} [/mm] ist?
Darüber solltest Du nochmal kurz nachdenken - Du bist mit [mm] E=3A^3-3A^2+3A [/mm] dicht an der Lösung...
> und ich hatte das Ergebniss:
>
> [mm]A^{-1}[/mm] [mm] =\red{3}[/mm] [mm]A^2-3A+3E[/mm]
> [...]
> Ich hatte hier soetwas wie [mm]-\lambda^3+3\lambda+4[/mm]
> was mache ich wenn ich solch eine Form herausbekomme?
>
> Darf ich nur für die 1 die Einheitsmatrix einsetzen?
Du hast also [mm] [b]P_A(x)=[/b]-\lambda^3+3\lambda+4 [/mm] bekommen,
und willst wissen, wie man hier A einsetzt.
So:
[mm] P_A(x)=-\lambda^3+3\lambda+4*\lambda^0,
[/mm]
[mm] P_A(A)=-A^3+3A^2+4E.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Do 20.05.2010 | | Autor: | Vertax |
Also eigentlich ist mein Ergebniss richtig:
[mm] A^{-1}=A^2-3A+3E
[/mm]
Bei mir bekomme ich da als ergebiss:
[mm] \begin{pmatrix}
4 & 0 & 1 \\
-6 & 1 & -2 \\
-9 & 0 & -2
\end{pmatrix}
[/mm]
Wenn ich das mal A rechne bekomme ich die Einheitsmatrix heraus.
[mm] \begin{pmatrix}
4 & 0 & 1 \\
-6 & 1 & -2 \\
-9 & 0 & -2
\end{pmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix}
-2 & 0 & -1 \\
6 & 1 & 2 \\
9 & 0 & 4
\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
Und wieso beißt sich das mit * [mm] A^{-1} [/mm] ?
Wenn ich habe:
0 = [mm] -\lambda^3+3\lambda^2-3\lambda+1
[/mm]
Einsetzen von A und E:
0 = [mm] -A^3+3A^2-3A+E |*A^{-1}
[/mm]
0 = [mm] -A^3*A^{-1}+3A^2*A^{-1}-3A*A^{-1}+E*A^{-1}
[/mm]
0 = [mm] -A^2+3A-3E+A^{-1} |-A^{-1}
[/mm]
[mm] -A^{-1} [/mm] = [mm] -A^2+3A-3E [/mm] | *(-1)
[mm] A^{-1} [/mm] = [mm] A^2-3A+3E
[/mm]
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Hallo,
stell Rückfragen als Fragen, dann werden sie von allen gesehen.
> Also eigentlich ist mein Ergebniss richtig:
>
> [mm]A^{-1}=A^2-3A+3E[/mm]
Ja.
Ich stoße mich hieran:
> 0 = [mm]-A^3+3A^2-3A+E |*A^{-1}[/mm].
Du sollst ja erst [mm] A^{-1} [/mm] ermitteln - und Du multiplizierst schon damit, obgleich Du' s gar nicht hast.
>
> Bei mir bekomme ich da als ergebiss:
>
> [mm]\begin{pmatrix}
4 & 0 & 1 \\
-6 & 1 & -2 \\
-9 & 0 & -2
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Wenn ich das mal A rechne bekomme ich die Einheitsmatrix
> heraus.
Das, was Du dann vorrechnest, ist hingegen eine überzeugende Argumentation.
nämlich so: [mm] E=(A^3-3A+3E)*A=A*(A^3-3A+3E) [/mm] ==> [mm] A^{-1}==(A^3-3A+3E)
[/mm]
Gruß v. Angela
>
> [mm]\begin{pmatrix}
4 & 0 & 1 \\
-6 & 1 & -2 \\
-9 & 0 & -2
\end{pmatrix}[/mm] *
> [mm]\begin{pmatrix}
-2 & 0 & -1 \\
6 & 1 & 2 \\
9 & 0 & 4
\end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Und wieso beißt sich das mit * [mm]A^{-1}[/mm] ?
>
> Wenn ich habe:
> 0 = [mm]-\lambda^3+3\lambda^2-3\lambda+1[/mm]
> Einsetzen von A und E:
> 0 = [mm]-A^3+3A^2-3A+E |*A^{-1}[/mm]
> 0 =
> [mm]-A^3*A^{-1}+3A^2*A^{-1}-3A*A^{-1}+E*A^{-1}[/mm]
> 0 = [mm]-A^2+3A-3E+A^{-1} |-A^{-1}[/mm]
> [mm]-A^{-1}[/mm] = [mm]-A^2+3A-3E[/mm] |
> *(-1)
> [mm]A^{-1}[/mm] = [mm]A^2-3A+3E[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:42 Do 20.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich stoße mich hieran:
> > 0 = [mm]-A^3+3A^2-3A+E |*A^{-1}[/mm].
>
> Du sollst ja erst [mm]A^{-1}[/mm] ermitteln - und Du multiplizierst
> schon damit, obgleich Du' s gar nicht hast.
Hallo Angela,
an dieser Vorgehensweise ist doch nichts auszusetzen. A ist invertierbar und genügt der Gleichung
$0 [mm] =-A^3+3A^2-3A+E$
[/mm]
Warum soll ich nicht mit [mm] A^{-1} [/mm] durchmultiplizieren ? Wenn ich das tue , bekomme ich eine wahre Aussage und eine schöne Information über [mm] A^{-1}
[/mm]
Wenn Du alle reellen x suchst, die der Gleichung
$x+1/x=4$
genügen, so multiplizierst Du doch auch mit x durch (um eine quadratische Gleichung zu bekommen), auch wenn Du x (noch) nicht kennst
Gruß FRED
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> > Ich stoße mich hieran:
> > > 0 = [mm]-A^3+3A^2-3A+E |*A^{-1}[/mm].
> >
> > Du sollst ja erst [mm]A^{-1}[/mm] ermitteln - und Du multiplizierst
> > schon damit, obgleich Du' s gar nicht hast.
>
> Hallo Angela,
>
> an dieser Vorgehensweise ist doch nichts auszusetzen. A ist
> invertierbar
Hallo,
ich war wohl grad auf einem anderen Stern - und daß A bekannt und invertierbar ist, hatte ich irgendwie vergessen.
Gruß v. Angela
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