Charakteristisches Polynom < Regelungstechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 Mi 30.04.2014 | | Autor: | nico.n |
| Aufgabe | Gegeben ist die gewöhnliche Differenzialgleichung
[mm] d^2y/dt^2+2*alpha*dy/dt+y=gamma
[/mm]
mit der beliebigen, aber konstanten Inhomogenität gamma. Für die Konstante alpha gilt 0<alpha<1.
Lösen Sie die Differenzialgleichung mit Hilfe des Befehls desolve(). Treffen Sie anhand der Nullstellen des charakteristischen Polynoms eine Aussage über die Stabilität des Systems. |
Hallo, ich studiere Wirtschaftsingenieurwesen und belege zur Zeit ein Praktikum in der Regelungstechnik. Hierfür sollen wir vor allem mit Maxima und Matlab arbeiten.
Leider komme ich mit der gestellten Aufgabe nicht klar, denn mir ist nicht klar wie ich das charakteristische Polynom der DGL rausbekomme.
Ich weiß dass man die homogene und inhomogene Lösung ausrechnen kann, aber dazu müsste man wohl eine Lösung erst erraten, die andere könnte man dann per lambda-Ansatz bestimmen(Ableitung von y gegen [mm] lambda^x [/mm] austauschen). Dann gibt es auch nocht die Variante per Laplace auf die Lösung zu kommen aber irgendwie weiß ich nicht wie ich da rangehen soll.
Ich hoffe jemand kann mir weiter helfen. Bin ein wenig verzweifelt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:56 Do 01.05.2014 | | Autor: | nico.n |
Könnte es sein, dass es reicht wenn ich einfach die homogene Gleichung aufstelle, in diesem Fall :
[mm] s^2+2*alpha*s+1=0 [/mm]
und daraus die Nullstellen berechne. Wäre das dann das gesuchte charakteristische Polynom der DGL.?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:26 Do 01.05.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo nico.n,
willkommen zunächst einmal hier im Forum.
Was Dir augenscheinlich fehlt, ist der Zusammenhang zwischen einer DGL und der zu dieser DGL gehörenden charakteristischen Gleichung.
Das ist aber nicht so furchtbar wild.
Man löst zunächst die homogene DGL (rechte Seite der DLG wird zu Null gesetzt) und kann anschließend mit Hilfe der dabei berechneten Lösungen die Lösung für die inhomogene DGL (rechte Seite ungleich Null) bestimmen. Die Summe aus beiden Lösungen ergibt die Lösung einer inhomogenen DGL.
Das charakteristische Polynom gehört zur homogenen DGL, die ich hier mal in t schreibe, da dies zu Deiner Aufgabe passt. Die homogene DGL sieht so aus:
[mm] a_n y^{(n)}(t) + a_{n-1}y^{(n-1)}(t) + \ldots + a_1 y^{'} (t) + a_0 = 0 [/mm]
Die hochgestellten Indizes in Klammern bezeichnen die n-te Ableitung, n-erste etc. bis runter zur ersten Ableitung, die ich mit einem Ableitungsstrich geschrieben habe.
Zu so einer DGL gehört das charakteristsche Polynom
[mm] a_n \lambda^n + a_{n-1} \lambda^{n-1} + \ldots + a_1 \lambda + a_0 = 0 [/mm]
Dieses Polynom ist zu lösen und ich nehme mal an, dass dies mit Hilfe des desolve-Befehls geht, den ich allerdings nicht kenne.
Als E-Techniker, der immerhin auch ein Jahr lang RT machte, kann ich mir eine allgemeine Randbemerkung einfach nicht verkneifen. Es ist sehr schade, dass im Studium immer mehr auf numerische Verfahren in der RT gesetzt wird, ohne dass die Studenten überhaupt wissen, was sie da machen. Klar, in der Praxis sind viele RT-Aufgaben nur mit Numerik zu lösen, aber das Ganze sollte während des Studiums, das ist zumindest meine Meinung, nicht zu einem Kochrezeptkurs führen ohne weitere Erklärungen.
Ich hoffe, Du kommst nun mit dieser Aufgabe weiter, ansonsten frage einfach noch mal nach.
Viel Erfolg und viele Grüße,
Infinit
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