Charakteristische Funktion < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Seien Y, Z unabhängige, identisch verteilte reelle Zufallsgrößen mit charakteristischer Funktion [mm] \varphi.
[/mm]
Berechne die charakteristische Funktion von Y-Z! |
Komme hier leider nicht weiter. Ich weiß, dass nach Definition
[mm] $\varphi(t)=E[e^{i t (Y-Z)}], [/mm] t [mm] \in \IR.$
[/mm]
Kann das aber leider nicht auswerten. Meine Idee war nun folgende: Da Y und Z unabhängig sind, sind auch Y und -Z unabhängig (stimmt das?)
Dann gilt aber aufgrund der Eigenschaft der charakteristischen Funktion
[mm] $\varphi_{Y-Z}(t)=\varphi_Y(t) \varphi_{-Z}(t)=\varphi(t) \varphi_{-Z}(t)$
[/mm]
Ist vielleicht [mm] $\varphi_{-Z}(t)=-\varphi_Z(t)$? [/mm] Dann wäre ich ja fertig!
Oder vielleicht so: Sind vielleicht Z und Y-Z unabhängig? Dann würde nämlich folgen:
[mm] $\varphi(t)=\varphi_Y(t)=\varphi_{Z+(Y-Z)}(t)=\varphi_Z(t)\varphi_{Z-Y}(t)=\varphi(t)\varphi_{Z-Y}(t)$
[/mm]
und somit
[mm] $\varphi_{Z-Y}(t)=1$
[/mm]
Aber wie zeige ich die Unabhängigkeit von Y un Y-Z? Und was mache ich, wenn [mm] \varphi(t)=0 [/mm] ???
???
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Di 03.06.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin SorcererBln,
[mm] \begin{matrix}
\varphi_{Y-Z}(t)&=&\operatorname{E}[e^{i t (Y-Z)}] \\
&=&\operatorname{E}[e^{i t Y-i tZ}] \\
&=&\operatorname{E}[e^{i tY}]\operatorname{E}[e^{i(-t)Z}] \\
&=&\varphi(t)\varphi(-t)\,.
\end{matrix} [/mm]
Die dritte Gleichung folgt wegen der Unabhaengigkeit von $Y$ und $Z$.
vg Luis
|
|
|
| |
|
Vielen Dank Luis, du bist genial.
Franky
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:38 Di 03.06.2008 | | Autor: | luis52 |
> Vielen Dank Luis,
Gerne.
> du bist genial.
Mehr, mehr 
vg Luis
|
|
|
|
