Charakteristik eines Körpers < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:07 Do 03.12.2009 | | Autor: | moerni |
Hallo.
Ist char(K)=2 gleichbedeutend mit K ist der F2-Primkörper? Also, wenn ich als Voraussetzung gegeben habe, dass char(K)=2 ist, kann ich dann davon ausgehen, dass der Körper der F2-Primkörper ist?
grüße, moerni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:15 Do 03.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo moerni
> Ist char(K)=2 gleichbedeutend mit K ist der
> F2-Primkörper? Also, wenn ich als Voraussetzung gegeben
> habe, dass char(K)=2 ist, kann ich dann davon ausgehen,
> dass der Körper der F2-Primkörper ist?
Der Koerper [mm] $\IF_2[X]/(X^2 [/mm] + X + 1)$ hat 4 Elemente und ebenfalls Charakteristik 2.
Aber der Primkoerper eines jeden Koerpers mit Charakteristik 2 ist der [mm] $\IF_2$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 Do 03.12.2009 | | Autor: | moerni |
Hallo und vielen Dank erstmal für die Antwort.
> Der Koerper [mm]\IF_2[X]/(X^2 + X + 1)[/mm] hat 4 Elemente und
> ebenfalls Charakteristik 2.
>
Das verstehe ich nicht ganz. Warum ist das überhaupt ein Körper (und kein Ring...)? und was sind die 4 Elemente?
Wenn ich jetzt gegeben habe, dass das Minimalpolyonom eines Elementes [mm] \alpha [/mm] aus einer Körpererweiterung L/K (mit K hat char(K)=2) ist: [mm] MinPol(\alpha [/mm] / [mm] K)=x^2+a_1x+a_2. [/mm] Kann ich dann annehmen, dass [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] entweder 1 oder 0 sind?
grüße moerni
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Also es gilt [mm]\mathbb{L}[/mm] ein Körper mit [mm] [/mm]\mathrm{char}(\mathbb{L})=2[/mm] [mm] dann gilt [mm]|\mathbb{L}|=2^{[\mathbb{L}:\mathbb{F}_2]}[/mm]. Ist ein Satz aus der Algebra über endliche Körper.
Warum [mm]\mathbb {F}_2/(X^2+X+1)[/mm] Körper?. [mm]X^2+X+1[/mm] irreduzibel über [mm]\mathbb{F}_2[/mm], also [mm](X^2+X+1)[/mm] maximales Ideal [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\mathbb {F}_2/(X^2+X+1)[/mm] ist ein Körper.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Do 03.12.2009 | | Autor: | moerni |
> Also es gilt [mm]\mathbb{L}[/mm] ein Körper mit
> [mm][/mm][mm] \mathrm{char}(\mathbb{L})=2[/mm][/mm] [mm]dann gilt [mm]|\mathbb{L}|=2^{[\mathbb{L}:\mathbb{F}_2]}[/mm]. Ist ein Satz aus der Algebra über endliche Körper.
> Warum [mm]\mathbb {F}_2/(X^2+X+1)[/mm] Körper?. [mm]X^2+X+1[/mm] irreduzibel über [mm]\mathbb{F}_2[/mm], also [mm](X^2+X+1)[/mm] maximales Ideal [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\mathbb {F}_2/(X^2+X+1)[/mm] ist ein Körper.
... achso ja, stimmt. danke.
und was ist mit dieser Frage:
Wenn ich jetzt gegeben habe, dass das Minimalpolyonom eines Elementes aus einer Körpererweiterung L/K (mit K hat char(K)=2) ist: Kann ich dann annehmen, dass und entweder 1 oder 0 sind??
grüße, moerni
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Also seie [mm]\mathbb{L}/\mathbb{K}[/mm] eine Körpererweiterung mit [mm]\mathrm{char}(\mathbb{K})=2[/mm]. Sei [mm]\varphi:\mathbb{K}[x]\rightarrow \mathbb{K}(\alpha),\sum_ia_ix^i\mapsto \sum_ia_i\alpha^i[/mm] für [mm]\alpha\in \mathbb{L}[/mm]. Es gilt insbesondere [mm][\mathbb{L}:\mathbb{K}]=[\mathbb{K}(\alpha):\mathbb{K}][\mathbb{L}:\mathbb{K}(\alpha)][/mm]. Falls eines von beiden 1 ist folgt sofort [mm][\mathbb{L}:\mathbb{K}]=[\mathbb{K}(\alpha):\mathbb{K}]\vee [\mathbb{L}:\mathbb{K}]=[\mathbb{L}:\mathbb{K}(\alpha)][/mm], also [mm]\mathbb{K}(\alpha)=\mathbb{K}\vee \mathbb{K}(\alpha)=\mathbb{L}[/mm][mm] .\\
[/mm]
Hast du das gemeint?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:21 Do 03.12.2009 | | Autor: | moerni |
> Also seie [mm]\mathbb{L}/\mathbb{K}[/mm] eine Körpererweiterung mit
> [mm]\mathrm{char}(\mathbb{K})=2[/mm]. Sei
> [mm]\varphi:\mathbb{K}[x]\rightarrow \mathbb{K}(\alpha),\sum_ia_ix^i\mapsto \sum_ia_i\alpha^i[/mm]
> für [mm]\alpha\in \mathbb{L}[/mm]. Es gilt insbesondere
> [mm][\mathbb{L}:\mathbb{K}]=[\mathbb{K}(\alpha):\mathbb{K}][\mathbb{L}:\mathbb{K}(\alpha)][/mm].
> Falls eines von beiden 1 ist folgt sofort
> [mm][\mathbb{L}:\mathbb{K}]=[\mathbb{K}(\alpha):\mathbb{K}]\vee [\mathbb{L}:\mathbb{K}]=[\mathbb{L}:\mathbb{K}(\alpha)][/mm],
> also [mm]\mathbb{K}(\alpha)=\mathbb{K}\vee \mathbb{K}(\alpha)=\mathbb{L}[/mm][mm] .\\[/mm]
>
> Hast du das gemeint?
Also die Aufgabe ist folgende: L/K ist eine quadratische Körpererweiterung. Dann gibt es ein [mm] \alpha \in [/mm] L und [mm] \alpha \not \in [/mm] K. Dann muss wegen obiger Begründung [mm] L=K(\alpha) [/mm] sein. Sei nun [mm] MinPol(\alpha [/mm] / [mm] K)=x^2+a_1x+a_2. [/mm] Jetzt muss ich zeigen, dass dann entweder [mm] \alpha^2 \in [/mm] K oder [mm] \alpha^2+\alpha \in [/mm] K. Dazu bin ich alle möglichen Fälle für [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] durchgegangen, wobei ich eben hier verwende, dass [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] nur 1 oder 0 sein können. Kann ich das so machen?
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Ok [mm]\alpha\notin \mathbb{K}[/mm] sonst klar. Mögliche Vorgehensweise ist, das Minimalpolynom zu nutzen und eine [mm]\mathbb{K}[/mm]-Basis von [mm]\mathbb{K}(\alpha)[/mm] zu erstellen. Dann ist aber auch [mm]\alpha^2+\alpha+a\in \mathbb{K}(\alpha)[/mm]. Stelle genau diesen Wert mit der Basis dar und man hat es dann eigentlich, also [mm]\alpha^2+\alpha+a=\text{Linearkombination der Basiselemente}[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Do 03.12.2009 | | Autor: | moerni |
> Ok [mm]\alpha\notin \mathbb{K}[/mm] sonst klar. Mögliche
> Vorgehensweise ist, das Minimalpolynom zu nutzen und eine
> [mm]\mathbb{K}[/mm]-Basis von [mm]\mathbb{K}(\alpha)[/mm] zu erstellen. Dann
> ist aber auch [mm]\alpha^2+\alpha+a\in \mathbb{K}(\alpha)[/mm].
> Stelle genau diesen Wert mit der Basis dar und man hat es
> dann eigentlich, also
> [mm]\alpha^2+\alpha+a=\text{Linearkombination der Basiselemente}[/mm].
ok, dann ist also eine K-Basis von [mm] K(\alpha) [/mm]
[mm] 1,\alpha,\alpha^2. [/mm] Wie kann ich nun damit begründen, dass daraus folgt, dass entweder [mm] \alpha^2 [/mm] oder [mm] \alpha^2+\alpha [/mm] in K sein müssen? Gehe ich richtig in der Annahme, dass mein Ansatz mit [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm] sind jeweil 1 oder 0 nicht geht? warum?
grüße, moerni
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War zu voreilig. Die Antwort war leider nicht ganz korrekt. Dein Ansatz war richtig, denn das Minimalpolynom hat Nullstelle bei [mm]\alpha\in \mathbb{L}[/mm] und die einzigen Möglichkeiten sind [mm]\alpha^2+\alpha+1=0\vee \alpha^2+1=0[/mm]. Daraus folgt dann [mm]\alpha^2+\alpha\in \mathbb{K}\vee \alpha^2\in \mathbb{K}[/mm].
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