Charakteristik Körpers < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Mo 01.12.2008 | | Autor: | anna88 |
| Aufgabe | (Charakteristik eines Körpers) Es sei k ein Körper. Für alle n [mm] \in \IN [/mm] definieren wir
[mm] n_{k} [/mm] := [mm] \summe_{l=1}^{n} [/mm] 1 = [mm] \underbrace{1+...+1}_{n-mal}
[/mm]
Offenbar gilt [mm] n_{k} [/mm] + [mm] m_{k} [/mm] = (n + [mm] m)_{k} [/mm] un [mm] n_{k} \* m_{k} [/mm] = [mm] (nm)_{k} [/mm] für alle n,m [mm] \in \IN. [/mm] Wir definieren nun die Menge S := [mm] \{n \in \IN|n_{k} = 0 \} [/mm] und die Charakteristik des Körpers k
char (k) := [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{falls } S=\emptyset \\ min S & \mbox{sonst } n \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie, dass char(k) entweder 0 oder eine Primzahl ist. |
Hab mir folgendes überlegt. :
Beweis: n ist immer eine Primzahl:
Sei n [mm] \not= [/mm] 0. Wenn n keine Primzahl ist, dann zerfällt sie in
Faktoren. Wähle n=1,2
[mm] n_{1} [/mm] = 0
[mm] \gdw (n_{1}\*n_{2}) [/mm] = 0
[mm] \gdw n_{1}1\*n_{2}1=0
[/mm]
[mm] \gdw n_{1}1 \wedge n_{2}1 [/mm] = 0
= Widerspruch.
Hmm ich komm grad sehr durcheinander. Kann mir bitte jemand helfen. Einen Ansatz vllt geben???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Mo 01.12.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo!
Sei char(K) = p [mm] \not= [/mm] 0
Zu zeigen: p prim.
Angenommen, p ist nicht prim. Dann ex a, b mit a,b > 1, so dass p = ab
Dann gilt
0 =p*1 = a*b*1 = (a*1) * (b*1)
Da K als Körper Integritätsring ist, gilt
a*1=0 oder b*1=0
Schöne Grüße,
djmatey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:02 Mi 03.12.2008 | | Autor: | anna88 |
vielen vielen dank
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