Cauchyscher Integralsatz < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:18 Fr 01.10.2010 | | Autor: | waruna |
| Aufgabe | 1. Sei G einbeschränktesGebietund f in G holomorph. Fernerseien C1 und C2 zwei geschlossene, ganz in G verlaufende , punktfremde, stückweise stetig diferenzierbare homotope Kurven. Dann gilt, wenn beide
Kurven im selben Sinn durchlaufen werden, dass Integrale von f laengst diesen Kurven gleich gross sind.
2. Cauchyscher Integralsatz:
Sei G ein beschränktes Gebietund C⊂ G eine geschlossene Kurve. f sei auf C stetig und im Inneren von C holomorph. Dann Integral von f laengst dieser Kurve gleich Null ist. |
Fuer mich erfuellen beide Kurven in 1. die Voraussetzungen aus dem Cauchyscher Integralsatz, dass wurde also heissen, dass diese Integrale von f laengst diesen Kurven immer gleich Null sind. Stimmt das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 Fr 01.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> 1. Sei G einbeschränktesGebietund f in G holomorph.
> Fernerseien C1 und C2 zwei geschlossene, ganz in G
> verlaufende , punktfremde, stückweise stetig
> diferenzierbare homotope Kurven. Dann gilt, wenn beide
> Kurven im selben Sinn durchlaufen werden, dass Integrale
> von f laengst diesen Kurven gleich gross sind.
> 2. Cauchyscher Integralsatz:
> Sei G ein beschränktes Gebietund C⊂ G eine geschlossene
> Kurve. f sei auf C stetig und im Inneren von C holomorph.
> Dann Integral von f laengst dieser Kurve gleich Null ist.
> Fuer mich erfuellen beide Kurven in 1. die Voraussetzungen
> aus dem Cauchyscher Integralsatz, dass wurde also heissen,
> dass diese Integrale von f laengst diesen Kurven immer
> gleich Null sind. Stimmt das?
Nein, das stimmt nicht.
Wir nehmen [mm] $G=\{z \in \IC: 0<|z|<3\}$ [/mm] und f(z)=1/z
Die Kurven [mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2 [/mm] seien gegeben durch:
[mm] C_1: c_1(t)= e^{it}, [/mm] (t [mm] \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi]
[/mm]
[mm] C_2: c_2(t)= 2e^{it}, [/mm] (t [mm] \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi]
[/mm]
Alle Vor. von 1. sind erfüllt !!
Es ist aber:
[mm] $\integral_{c_1}^{}{f(z) dz}= \integral_{c_2}^{}{f(z) dz}= [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] \ne [/mm] 0$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Fr 01.10.2010 | | Autor: | waruna |
Ich sehe aber nicht warum koennen wir im deinen Beispiel nicht 2. anwenden? Welche Voraussetzung ist verletzt?
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Hallo waruna,
ist $f(z)=1/z$ im Inneren von [mm] $C_1$ [/mm] holomorph?
LG mathfunnel
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