Cauchyscher Hauptwert < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Cauchyschen Hauptwert in Abhängigkeit von n [mm] \in [/mm] N
CH [mm] \int_{-1}^{3}{\frac{dx}{x^n}}
[/mm]
CH [mm] \int_{-2}^{1}{\frac{1+\sqrt{\lvert{x}\rvert}}{x}} [/mm] |
Die erste Teilaufgabe war nicht das Problem. Da ich es zum ersten Mal mache, stelle ich sie hier trotzdem ein und hoffe ggf. auf Korrektur.
CH [mm] \int_{-1}^{3}{\frac{dx}{x^n}} [/mm] = [mm] \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0}{\int_{-1}^{0-\epsilon}{\frac{dx}{x^n}}} [/mm] + [mm] \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0}{\int_{0+\epsilon}^{3}{\frac{dx}{x^n}}}
[/mm]
= [mm] \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0}{\int_{-1}^{0-\epsilon}{\frac{dx}{x^n}}} [/mm] + [mm] \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0}{\int_{0+\epsilon}^{1}{\frac{dx}{x^n}}} [/mm] + [mm] \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0}{\int_{1}^{3}{\frac{dx}{x^n}}}
[/mm]
= [mm] \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0}{[\frac{x^{1-n}}{1-n}]_{-1}^{0-\epsilon}} [/mm] + [mm] \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0}{[\frac{x^{1-n}}{1-n}]_{0+\epsilon}^{1}} [/mm] + [mm] \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0}{[\frac{x^{1-n}}{1-n}]_{1}^{3}} [/mm] = [mm] \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0}{[\frac{x^{1-n}}{1-n}]_{1}^{3}} [/mm] = [mm] \frac{3^{1-n}-1^{1-n}}{1-n}
[/mm]
Kommt das soweit hin?
Bei der zweiten Teilaufgabe beginnt mein Problem leider schon mit dem Berechnen des Integrals, da ich leider nicht weiß, wie ich die Wurzel mit Betrag los werde.
Habe nun eine Fallunterscheidung für x>=0 und x<0 gemacht und die zwei integrale ln |x| [mm] +2\sqrt{x} [/mm] und ln |x| [mm] +2\sqrt{-x} [/mm] erhalten und diese dann einfach zum Integral ln |x| [mm] +2\sqrt{|x]} [/mm] verallgemeintert. Kann man das machen?
Dann habe ich gerechnet:
[mm] \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0}{\int_{-2}^{-1}{\frac{1+\sqrt{\lvert x \rvert}}{x}}} [/mm] + [mm] \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0}{\int_{-1}^{0-\epsilon}{\frac{1+\sqrt{\lvert x \rvert}}{x}}} [/mm] + + [mm] \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0}{\int_{0+\epsilon}^{1}{\frac{1+\sqrt{\lvert x \rvert}}{x}}} [/mm] = [mm] \lim\limits_{\epsilon \rightarrow 0}{\int_{-2}^{-1}{\frac{1+\sqrt{\lvert x \rvert}}{x}}} [/mm] = [mm] \ln{1} [/mm] + [mm] 2\sqrt{1} -\ln{2} [/mm] - [mm] 2\sqrt{2} [/mm] = [mm] 0+2-\ln{2}-2*\sqrt{2}
[/mm]
Bin mir besonders bei der zweiten unsicher. Kann mir jemand das bestätigen oder Fehler zeigen?
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Hi!
Stell dir in der ersten Aufgabe doch mal den Graphen des Integranden für bleistiftsweise n=2 vor (*) und überlege dir, ob das Integral konvergiert. Welche Fallunterscheidung(en) bieten sich an?
(der Spezialfall n=1 muss vermutlich auch gesondert untersucht werden - wie so oft bei [mm] $x^{-n}$).
[/mm]
Da zu meiner Zeit (als die Erde noch jung, grün und saftig war) die Lehrbücher mal [mm] $0\in\IN$ [/mm] und mal [mm] $0\notin\IN$ [/mm] definierten, muss gegebenenfalls auch für das gerade $n=0$ noch einmal genauer hingeschaut werden.
In der zweiten Lösung finde ich nichts zu bemängeln (was aber nichts heißen muss).
Gruß,
Peter
(*) kleine Imaginationshilfe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo Peter,
danke für die Antwort, frage mich nur, inwiefern mir die Betrachtung für die verschiedenen n hilft.
[mm] \int_{-1}^{1}{\frac{1}{x^{2n}}} [/mm] ist divergent (gerade),
[mm] \int_{-1}^{1}{\frac{1}{x^{2n+1}}} [/mm] ist konvergent (ungerade), da der Integrant nullpunktsymetrisch ist
Bei uns gilt [mm] 0\notin \mathbb [/mm] N
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:34 Mo 02.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Das ist nicht richtig !
Beide Integrale sind, so wie sie dastehen, divergent.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:52 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Peter_Pein |
Es geht um den Cauchyschen Hauptwert.
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Hallo Kater Karlo,
Du hast es eben ja schon geschrieben:
für gerade n ist das Integral von -1 bis 1 divergent, so dass das gesamte Integral divergent ist, denn an anderer Stelle "krachts" ja nicht mehr im Integranden, so dass die Singularität beim Nullpunkt wieder aufgehoben würde.
Für ungerade n hast Du schon einen Wert berechnet, jedoch kann man n=1 nicht so einfach einsetzen. Berechne entweder den Grenzwert von [mm] $\frac{-1+3^{1-n}}{n-1}$ [/mm] für n gegen 1 oder das [mm] $\integral_{-1}^{3}{\frac{1}{x} dx}$ [/mm] für diesen Spezialfall.
[mm] \begin{cases}
\text{divergent} & \text{n gerade} \\
\log (\text{..}) & n=1 \\
\frac{-1+3^{1-n}}{n-1} & \text{n ungerade}\land n\geq 3
\end{cases}
[/mm]
sollte m.E. das Ergebnis sein. Bis auf n=1 hast Du es ja auch schon.
Grüße,
Peter
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ok, jetzt sehe ich, worauf du hinaus wolltest. habe oben einen rechenfehler.
nur wenn das minus beim [mm] \epsilon [/mm] erhalten bleibt, exisitiert der CH, richtig?
dank nochmal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:11 Mo 02.06.2008 | | Autor: | Peter_Pein |
> ok, jetzt sehe ich, worauf du hinaus wolltest. habe oben
> einen rechenfehler.
> nur wenn das minus beim [mm]\epsilon[/mm] erhalten bleibt,
> exisitiert der CH, richtig?
>
> dank nochmal.
>
That's it!
Als Tipp: mit ein wenig Routine kann man in diesem Fall die geraden n von vornherein ausschließen, man weiß, dass bei Integralen über 1/x ein Logarithmus vorkommt und für ungerade n hebt sich der Teil des Integrationsbereiches von -1 bis 1 auf (natürlich nur beim CH) und man braucht nur noch das Integral von 1 bis 3 zu betrachten (für die ungeraden n, n=1 gesondert!)
Bin froh, geholfen zu haben,
Peter
P.S.: Nur aus Interesse: Dir ist auch klar, warum n=1 gesondert betrachtet werden muss? Das Ergebnis für diesen Fall ist $ln(x)$. Falls Du nicht 100%ig sicher bist, kannst Du das Ergebnis hier ja noch posten und bestätigen lassen (x ist die beste ganzzahlige Approximation für das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises  ).
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