Cauchyprodukt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:11 Fr 03.12.2010 | | Autor: | kiwibox |
Guten Abend...
ich habe eigentlich eine leichte Aufgabe, stehe aber bei dieser total auf dem Schlauch, wie ich das machen soll...
Ich soll das Cauchyprodukt von: [mm] \summe_{k=0}^{oo}c_{k}=(\summe_{k=0}^{oo}w^{k})*(\summe_{k=0}^{oo}z^{k}) [/mm] ausrechnen. Das Ergebnis soll [mm] \bruch{w^{k+1}-z^{k+1}}{w-z} [/mm] sein.
Mein Ansatz bisher: Die beiden Summen, die ich miteinander multiplizieren soll, sind geometrische Reihen, d.h. [mm] \summe_{k=0}^{j}w^{k}=\bruch{1-w^{j+1}}{1-w}
[/mm]
Das Cauchyprodukt ist wie folgt definiert: [mm] c_k=\summe_{j=0}^{k}(a_{j}*b_{k-j})
[/mm]
Nun habe ich das in die Summe eingesetzt: [mm] \summe_{j=0}^{k}(a_{j}*b_{k-j})=\summe_{j=0}^{k}(w^{j}*z^{k-j})=\bruch{1-w^{k+1}}{1-w}*\bruch{1-z^{k+1}}{1-z} [/mm] Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob man dies so einsetzt...und wenn es richtig ist, wie ich dann auf das Ergebnis von [mm] c_k [/mm] kommen soll...
Ich bin dankbar um jeden hilfreichen Tipp. 
Lg, kiwibox
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:11 Sa 04.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Guten Abend...
> ich habe eigentlich eine leichte Aufgabe, stehe aber bei
> dieser total auf dem Schlauch, wie ich das machen soll...
>
> Ich soll das Cauchyprodukt von:
> [mm]\summe_{k=0}^{oo}c_{k}=(\summe_{k=0}^{oo}w^{k})*(\summe_{k=0}^{oo}z^{k})[/mm]
> ausrechnen. Das Ergebnis soll [mm]\bruch{w^{k+1}-z^{k+1}}{w-z}[/mm]
> sein.
>
> Mein Ansatz bisher: Die beiden Summen, die ich miteinander
> multiplizieren soll, sind geometrische Reihen, d.h.
> [mm]\summe_{k=0}^{j}w^{k}=\bruch{1-w^{j+1}}{1-w}[/mm]
> Das Cauchyprodukt ist wie folgt definiert:
> [mm]c_k=\summe_{j=0}^{k}(a_{j}*b_{k-j})[/mm]
> Nun habe ich das in die Summe eingesetzt:
> [mm]\summe_{j=0}^{k}(a_{j}*b_{k-j})=\summe_{j=0}^{k}(w^{j}*z^{k-j})=\bruch{1-w^{k+1}}{1-w}*\bruch{1-z^{k+1}}{1-z}[/mm]
Das stimmt nicht ! Es ist
[mm] \summe_{j=0}^{k}(a_{j}*b_{k-j})=\summe_{j=0}^{k}(w^{j}*z^{k-j})=$ \bruch{w^{k+1}-z^{k+1}}{w-z} [/mm] $
Das kannst Du leicht einsehen, indem Du mit w-z multiplizierst.
Ein Induktionsbeweis geht auch
FRED
> Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob man dies so
> einsetzt...und wenn es richtig ist, wie ich dann auf das
> Ergebnis von [mm]c_k[/mm] kommen soll...
>
> Ich bin dankbar um jeden hilfreichen Tipp.
>
> Lg, kiwibox
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 13:49 Sa 04.12.2010 | | Autor: | kiwibox |
> > Nun habe ich das in die Summe eingesetzt:
> >
> [mm]\summe_{j=0}^{k}(a_{j}*b_{k-j})=\summe_{j=0}^{k}(w^{j}*z^{k-j})=\bruch{1-w^{k+1}}{1-w}*\bruch{1-z^{k+1}}{1-z}[/mm]
>
>
> Das stimmt nicht ! Es ist
>
> [mm]\summe_{j=0}^{k}(a_{j}*b_{k-j})=\summe_{j=0}^{k}(w^{j}*z^{k-j})=[/mm]
> [mm]\bruch{w^{k+1}-z^{k+1}}{w-z}[/mm]
>
>
>
> Das kannst Du leicht einsehen, indem Du mit w-z
> multiplizierst.
Und was soll ich mit w-z multiplizieren?
Ich soll ja das Cauchyprodukt ausrechnen, das Ergebnis ist vorgeben, aber ich weiß nicht wie...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:40 Sa 04.12.2010 | | Autor: | kiwibox |
Frage hat sich erledigt...hab einfach kompliziert gedacht 
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