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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Di 07.06.2005 | | Autor: | Adele |
Hallo nochmal!
Ich habe eine Frage zum Cauchyprodukt: die Aufgabe ist das Cauchyprodukt der Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n!} [/mm] mit sich selbst zu bilden.
Das Cauchyprodukt ist laut Vorlesung:
Wie man konvergente Reihen addiert, ergibt sich ganz natürlich, nicht so bei einem Produkt ( [mm] \summe_{i=0}^{n} [/mm] ai)·
( [mm] \summe_{i=0}^{n} [/mm] bj). Schreibt man alle möglichen Produkte der Reihenglieder in einem Schema, so hat man die Wahl diese anzuordnen.
[mm] a_{0}b_{0} a_{0}b_{1} a_{0}b_{2} a_{0}b_{3} [/mm] · · ·
[mm] a_{1}b_{0} a_{1}b_{1} a_{1}b_{2} a_{1}b_{3} [/mm] · · ·
[mm] a_{2}b_{0} a_{2}b_{1} a_{2}b_{2} a_{2}b_{3} [/mm] · · ·
[mm] a_{3}b_{0} a_{3}b_{1} a_{3}b_{2} a_{3}b_{3} [/mm] · · ·
...
Cauchyprodukt [mm] \summe c_{n} [/mm] mit Klammern
setzen beim Diagonalprodukt (wie bei Polynommultiplikation):
[mm] c_{0} [/mm] = [mm] a_{0}b_{0}
[/mm]
[mm] c_{1} [/mm] = [mm] a_{0}b_{1} [/mm] + [mm] a_{1}b_{0}
[/mm]
[mm] c_{2} [/mm] = [mm] a_{0}b_{2} [/mm] + [mm] a_{1}b_{1} [/mm] + [mm] a_{2}b_{0}
[/mm]
...
[mm] c_{n} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n} a_{i}b_{n-i} [/mm] (n-te Diagonale)
Das find ich auch eigentlich soweit verständlich, allerdings ist mir nicht klar, wie ich das dann bei der Aufgabe anwenden muss.
Ich denke, das [mm] a_{n} [/mm] = [mm] b_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n!} [/mm] ist, aber wie muss ich dann weiter damit vorgehen?
Ich wäre überaus dankbar für ein paar Tipps.
Ich habe diese Frage in keinem andern Forum gestellt.
Liebe Grüße,
Adele
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:26 Di 07.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Adele!
Du brauchst doch nur einzusetzen, die Aufgabe ist nahezu trivial:
[mm] $\left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \right)^2$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty} \sum\limits_{i=0}^n \frac{1}{i!}\frac{1}{(n-i)!}$
[/mm]
$= [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \sum\limits_{i=0}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] i}$
$= [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1} [/mm] {n!} [mm] \cdot 2^n$
[/mm]
[mm] $=e^2$.
[/mm]
Probe (Rechnung auf direktem Weg, ohne Cauchyprodukt)
[mm] $\left( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \right)^2 [/mm] = [mm] (e^1)^2=e^2$. [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Di 07.06.2005 | | Autor: | Adele |
Danke für die schnelle Antwort, da hätt ich auch wirklich selbst drauf kommen müssen, im Nachhinein total logisch.
Allerdings hatte ich gehofft, mit Hilfe der ersten Aufgabe dann auch das 2te Cauchyprodukt alleine lösen zu können.
In der 2ten sind es 2 Potenzreihen, [mm] \summe_{n=0}^{\infty} x^{n} [/mm] und [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (n+1)x^{n} [/mm] , wie muss ich denn damit vorgehen?
Liebe Grüße,
Adele
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:19 Di 07.06.2005 | | Autor: | Adele |
Ich danke dir !
Nee ist wirklich nicht so schwer wie ich gedacht hab :)
Liebe Grüße,
Adele
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![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]"){kind=small}
