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Cauchyfolgen auf Q < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Cauchyfolgen auf Q: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 03:42 Mo 15.11.2010
Autor: Beathans

Aufgabe
Zu beweisen ist: Auf [mm] \IQ [/mm] gibt es überabzählbar viele nicht benachbarte, nicht konvergente Cauchyfolgen.

Benachbart sind zwei Folgen [mm](a_n), (b_n) [/mm]wenn
[mm] d(a_n,b_n) \rightarrow 0 [/mm] gilt.




Ich hoffe jemand kann mir einen Hint dazu geben, da ich überhaupt keine Idee habe wie ich das mit den überabzählbar Vielen angehen soll, schliesslich komme ich bei meinen Überlegungen immer wieder darauf zurück, die Folgen zu indexieren.


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Cauchyfolgen auf Q: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:44 Mo 15.11.2010
Autor: felixf

Moin!

> Zu beweisen ist: Auf [mm]\IQ[/mm] gibt es überabzählbar viele
> nicht benachbarte, nicht konvergente Cauchyfolgen.
>  
> Benachbart sind zwei Folgen [mm](a_n), (b_n) [/mm]wenn
> [mm]d(a_n,b_n) \rightarrow 0[/mm] gilt.
>  
>
>
> Ich hoffe jemand kann mir einen Hint dazu geben, da ich
> überhaupt keine Idee habe wie ich das mit den
> überabzählbar Vielen angehen soll, schliesslich komme ich
> bei meinen Überlegungen immer wieder darauf zurück, die
> Folgen zu indexieren.

Angenommen, es gibt nur abzaehlbar viele. Sei [mm] $(a_n^{(m)})_n$, [/mm] $m [mm] \in \IN$ [/mm] eine Aufzaehlung all dieser. D.h. zu jeder nicht konvergenten Cauchy-Folge [mm] $(b_n)_n$ [/mm] in [mm] $\IQ$ [/mm] gibt es ein $m$, so dass [mm] $(b_n)_n$ [/mm] und [mm] $(a_n^{(m)})_n$ [/mm] benachbart sind.

Jetzt konstruiere mit einer Art []Cantorschen Diagonalverfahren (sagt dir das was?) eine Cauchy-Folge, die nicht in dieser Liste vorkommt, und die nicht konvergent ist.


Es gibt auch andere Moeglichkeiten das zu machen, je nachdem was ihr bisher schon zum Thema hattet.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Cauchyfolgen auf Q: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:48 Mo 15.11.2010
Autor: Beathans

Dieses Verfahren ist mir nicht unbekannt, ich werde dies versuchen, danke für die gute Idee.

Bezug
        
Bezug
Cauchyfolgen auf Q: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:44 Mo 15.11.2010
Autor: fred97

Weitere Möglichkeit:

Ist a [mm] \in \IR \setminus \IQ, [/mm] so ex. eine Folge [mm] (r_n) [/mm]  in [mm] \IQ [/mm]  mit [mm] r_n \to [/mm] a

[mm] (r_n) [/mm] ist eine Cauchyfolge, konvergiert aber nicht in [mm] \IQ [/mm]

Da  [mm] \IR \setminus \IQ, [/mm] überabzählbar ist, gibt es überabzählbar viele solche Folgen

FRED

Bezug
                
Bezug
Cauchyfolgen auf Q: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:05 Mo 15.11.2010
Autor: felixf

Moin Fred,

> Weitere Möglichkeit:
>  
> Ist a [mm]\in \IR \setminus \IQ,[/mm] so ex. eine Folge [mm](r_n)[/mm]  in
> [mm]\IQ[/mm]  mit [mm]r_n \to[/mm] a
>  
> [mm](r_n)[/mm] ist eine Cauchyfolge, konvergiert aber nicht in [mm]\IQ[/mm]
>  
> Da  [mm]\IR \setminus \IQ,[/mm] überabzählbar ist, gibt es
> überabzählbar viele solche Folgen

ja, so geht das natuerlich auch. Ich bin irgendwie davon ausgegangen, dass die reellen Zahlen gerade konstruiert werden und man mit deren Ueberabzaehlbarkeit noch nicht argumentieren moechte. Was aber nicht der Fall sein muss.

Wenn man die reellen Zahlen (inkl. [mm] $\overline{\IQ} [/mm] = [mm] \IR$) [/mm] schon hat ist es natuerlich viel einfacher, so vorzugehen :-)

LG Felix


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Bezug
Cauchyfolgen auf Q: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:47 Mo 15.11.2010
Autor: fred97

Hallo Felix,

ja, man ist halt nicht im Bilde, welchen Stand ein Fragesteller hat und was er benutzen kann und darf.

Gruß FRED

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Bezug
Cauchyfolgen auf Q: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:55 Mo 15.11.2010
Autor: Beathans

Danke für deine Hilfe

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