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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:07 So 19.07.2009 | | Autor: | katjap |
| Aufgabe | Sind diee Folgen Cauchyfolgen:
Für die Folge xn gelte [mm] |x_n [/mm] - [mm] x_n+1| \le 2^{-n} [/mm] für alle natürlichenZahlen n.
Für die Folge [mm] a_n [/mm] gelte [mm] |a_n [/mm] - [mm] a_n+1| \le \bruch{1}{n} [/mm] |
Die Definition einer Cauchyfolge ist ja:
Eine Folge [mm] (a_i)_{i\in \mathbb{N}} [/mm] heißt Cauchyfolge, wenn es zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] einen Index N gibt, so dass ab diesem Index alle Folgenglieder weniger als [mm] \varepsilon [/mm] voneinander entfernt sind.
also dass gilt [mm] |x_n [/mm] - [mm] x_+1|<\varepsilon
[/mm]
Bei beiden Fällen oben würde ich sagen, dass für große n diese Bedingung erfüllt ist und daher beide Folgen cauchyfolgen sind.
ist das so richtig?
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Hallo Katja,
ganz so einfach kann man es sich leider nicht machen, denn du hast ja jeweils nur Kenntnis über [mm] |x_n [/mm] - [mm] x_{n+1}|, [/mm] für die Entscheidung brauchst du ja aber eine Einschätzung von allen [mm] |x_m [/mm] - [mm] x_n|.
[/mm]
Der Vorteil eines Gegenbeispiels ist natürlich, dass du dir nur eine Folge konstruieren brauchst, für die das gegebene gilt, die aber nicht konvergiert.
Als Tip zum Ersten: Dreiecksungleichung und dann Kenntnise über die geometrische Reihe anwenden.
Zum zweiten: harmonische Reihe.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:36 So 19.07.2009 | | Autor: | katjap |
hm...
in der Aufgabe steht doch, dass es für alle natürlichen Zahlen n gilt,
also habe ich doch jeweils seinen Vor- und Nachfolger?
ich werds trotzdem mal auf deine vorgeschlagene Weise machen.
[mm] |x_n [/mm] - [mm] x_n+1| \ge ||x_n| [/mm] - [mm] |x_n+1|| \le \bruch{1}{n}
[/mm]
hm weiss leider nun aber nicht weiter,
die harmonische Reihe divergiert ja, aber das macht ja ncihts für die eigenschaft der cauchyfolge, denn es heisst doch nur,
jede konvergente folge ist eine cauchyfolge und nicht bedingt umgekehrt...
kann mir das jemand näher erklären? danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:49 So 19.07.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> hm...
> in der Aufgabe steht doch, dass es für alle natürlichen
> Zahlen n gilt,
> also habe ich doch jeweils seinen Vor- und Nachfolger?
>
> ich werds trotzdem mal auf deine vorgeschlagene Weise
> machen.
> [mm]|x_n - x_{n+1}| \ge ||x_n| - |x_{n+1}|| \le \bruch{1}{n}[/mm]
> hm
> weiss leider nun aber nicht weiter,
So hat Gono das nicht gemeint, sondern dass du eine Teleskopsumme bauen sollst. Für $m>n$:
[mm]|x_n - x_m| = | (x_n - x_{n+1}) + (x_{n+1} - x_{n+2}) + (x_{n+2}-x_{n+3}) + \dots + (x_{m-2} - x_{m-1})+(x_{m-1} - x_m) | [/mm]
und dann die Dreiecksungleichung mehrmals anwenden.
> die harmonische Reihe divergiert ja, aber das macht ja
> ncihts für die eigenschaft der cauchyfolge, denn es heisst
> doch nur,
> jede konvergente folge ist eine cauchyfolge und nicht
> bedingt umgekehrt...
Richtig, und daraus folgt, dass eine divergente Folge keine Cauchyfolge ist.
Die Ungleichung, von der du ausgehst, sagt dir noch nicht, ob die Folge konvergiert, sondern nur, dass der Abstand zweier benachbarter Folgenglieder immer kleiner wird.
Wenn du also eine divergente Folge [mm] $a_n$ [/mm] angeben kannst, die die Ungleichung $| [mm] a_n [/mm] - [mm] a_{n+1}| \le \bruch{1}{n}$ [/mm] erfüllt, dann hast du dein Gegenbeispiel und weisst, dass aus dieser Ungleichung nicht folgt, dass [mm] $a_n$ [/mm] eine Cauchyfolge ist.
Warum könnte dir die harmonische Reihe hier weiterhelfen?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:08 So 19.07.2009 | | Autor: | katjap |
hallo,ok jetzt klingelts etwas bei mir.
dadurch, dass die folge umgemünst wurde auf [mm] |x_m [/mm] - [mm] x_n| [/mm] ha man ja eine reihe, und wenn man als beispiel nun die harmonische Reihe nimmt dann stellt man fest, dass diese divergent ist und daher ein gegenbeispiel bildet.
bei dem 2. beispiel müsste dies ja nun ähnlich funktionieren.
man schreibt das ganze wieder um auf [mm] |x_m [/mm] - [mm] x_n| [/mm] und hat dann wieder dieselbe form, diesmal ist es aber die geometrische reihe, diese konvergiert und daher müsste das ding doch eine cauchyfolge sein, oder habe ich mal wieder was flasch verstanden?
vielen dank für die guten antworten!
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Hiho,
> dadurch, dass die folge umgemünst wurde auf [mm]|x_m[/mm] - [mm]x_n|[/mm] ha
> man ja eine reihe, und wenn man als beispiel nun die
> harmonische Reihe nimmt dann stellt man fest, dass diese
> divergent ist und daher ein gegenbeispiel bildet.
Naja, erstmal hat man nur eine Summe, da man aber weiss, dass die dazugehörige Reihe divergiert, weiss man, dass die Summe für [mm] m\to\infty [/mm] eben beliebig gross wird und damit jedes [mm] \varepsilon [/mm] übersteigt.
Das bringt dich allerdings auch nicht wirklich weiter, denn so zeigst du nur, dass gilt:
[mm] |x_m [/mm] - [mm] x_n| \le \summe_{k=n}^{m-1}\bruch{1}{k} [/mm] und von der Summe wissen wir das obige.
Da die Relation aber [mm] \le [/mm] lautet, bringt dich das kein Stück weiter, weil der Betrag ja weiterhin beliebig klein sein kann und nur die Abschätzung durch die Summe beliebig gross wird.
D.h. um zu zeigen dass der Betrag divergiert, müsstest du diesen nach UNTEN abschätzen und zeigen, dass die Abschätzung nach unten divergiert.
Das wird dir hier aber nicht gelingen, darum der Hinweis zur harmonischen Reihe, faß diese mal als Folge der Form
[mm] a_n [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k} [/mm]
auf, von dieser weisst du, dass sie divergent ist.
Was ist nun mit der Eigenschaft aus der Aufgabenstellung?
Anders sieht dies beim zweiten aus, weil uns hier die Abschätzung nach oben wirklich etwas bringt:
>
> bei dem 2. beispiel müsste dies ja nun ähnlich
> funktionieren.
> man schreibt das ganze wieder um auf [mm]|x_m[/mm] - [mm]x_n|[/mm] und hat
> dann wieder dieselbe form, diesmal ist es aber die
> geometrische reihe, diese konvergiert und daher müsste das
> ding doch eine cauchyfolge sein, oder habe ich mal wieder
> was flasch verstanden?
Nein, nur die Begründung ist noch zu schwach, es gilt nun:
[mm] |x_m [/mm] - [mm] x_n| [/mm] = [mm] \summe_{k=n}^{m-1}2^{-k}
[/mm]
Von der Summe weisst du, dass sie konvergiert, korrekt.
Aber warum gibt es denn nun für genügend grosse m,n ein [mm] \varepsilon, [/mm] so dass [mm] |x_m [/mm] - [mm] x_n| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] gilt?
Sicher hat es was damit zu tun, dass die geometrische Reihe konvergiert, aber das musst du noch etwas genauer begründen.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:36 So 19.07.2009 | | Autor: | katjap |
ok, das hilft mir schon weiter.
demnach ist für das beispiel 2 eine Cauchyfolge, da dann die geometrische Reihe mit [mm] 2^{-k} [/mm] gegen null konvergiert, was bedeutet, dass
[mm] |x_m [/mm] - [mm] x_n|< \varepsilon
[/mm]
vielen dank für die guten antworten!
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