Cauchyfolgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Do 13.11.2014 | | Autor: | Springer |
Guten Abend,
ich sitze momentan an dieser Aufgabe und bin mir nicht ganz sicher, ob mein Lösungsweg so ganz korrekt ist und ob man überhaupt so argumentieren kann.
Nun gut, ich fange mal an:
Eine Cauchyfolge ist definiert als eine Folge { [mm] a_{n} [/mm] } in einem metrischen Raum (X,d), für die gilt, dass für ein beliebiges ɛ > 0 eine Zahl N [mm] \in \IN [/mm] gibt, sodass für alle n > N und m > N gilt:
[mm] d(a_{n}, a_{m}) [/mm] < ɛ
Das heißt für mich so viel, dass wenn man zwei Folgeglieder auswählt und deren Abstand ɛ misst, man immer zwei weitere Folgeglieder findet, deren Abstand voneinander noch kleiner als dieses festgelegte ɛ ist.
Beschränktheit habe ich mir definiert als die Tatsache, dass in einer konvergenten Folge, alle Folgeglieder innerhalb einer bestimmten "Schranke" M liegen müssen
M = max (|A-ɛ|, |A+ɛ|, [mm] |a_{1}|, |a_{2}|, [/mm] ..., [mm] |a_{n}|)
[/mm]
Man vergleicht also alle Folgeglieder und wählt dann das größte Folgeglied aus, wodurch man dann eine Schranke definieren kann.
Da ich in meinem Fall jedoch nicht über Konvergenz argumentieren darf, habe ich folgenden Ansatz:
Wenn ich die Definition einer Cauchyfolge von oben betrachte, ist es ja so, dass ich immer den Abstand zweier beliebiger Folgeglieder miteinander vergleiche. Wenn ich nun alle Möglichkeiten durchgehe, müsste darunter ja auch ein Paar von Folgegliedern sein, deren Abstand größer ist, als der Abstand aller anderen Folgeglieder zueinander. Ich kreiere mir also eine Schranke M, für die gilt:
[ -M, M ] = max ( [mm] (a_{n}-a_{m}), (a_{x}-a_{y}), [/mm] ..., [mm] (a_{N}-a_{M})) [/mm] = ɛ (max)
Meiner Meinung nach habe ich dann so gezeigt, dass jede Cauchyfolge beschränkt ist, da der maximale Abstand irgendwo in dieser Aufzählung auftreten muss und durch das max() ausgegeben wird. Dieses Schrankenintervall hat dann gerade die Breite ɛ (max).
Vielen Dank.
Grüße Springer
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 Do 13.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie direkt (d.h. ohne Verwendung der Tatsache, dass
> Cauchyfolgen in [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
konvergent sind), dass jede
> reellwertige Cauchyfolge beschränkt ist.
> Guten Abend,
>
> ich sitze momentan an dieser Aufgabe und bin mir nicht ganz
> sicher, ob mein Lösungsweg so ganz korrekt ist und ob man
> überhaupt so argumentieren kann.
>
> Nun gut, ich fange mal an:
>
> Eine Cauchyfolge ist definiert als eine Folge { [mm]a_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} in
> einem metrischen Raum (X,d), für die gilt, dass für ein
> beliebiges ɛ > 0 eine Zahl N [mm]\in \IN[/mm] gibt, sodass für
> alle n > N und m > N gilt:
>
> [mm]d(a_{n}, a_{m})[/mm] < ɛ
>
> Das heißt für mich so viel, dass wenn man zwei
> Folgeglieder auswählt und deren Abstand ɛ misst, man
> immer zwei weitere Folgeglieder findet, deren Abstand
> voneinander noch kleiner als dieses festgelegte ɛ ist.
>
> Beschränktheit habe ich mir definiert als die Tatsache,
> dass in einer konvergenten Folge, alle Folgeglieder
> innerhalb einer bestimmten "Schranke" M liegen müssen
>
> M = max (|A-ɛ|, |A+ɛ|, [mm]|a_{1}|, |a_{2}|,[/mm] ..., [mm]|a_{n}|)[/mm]
>
> Man vergleicht also alle Folgeglieder und wählt dann das
> größte Folgeglied aus, wodurch man dann eine Schranke
> definieren kann.
eine Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] heißt genau dann beschränkt, wenn
[mm] $\{|a_n|:\;\; n \in \IN\}$
[/mm]
nach oben beschränkt ist - oder, was man auch sagen kann: wenn
[mm] $\{a_n:\;\; n \in \IN\}$
[/mm]
beschränkt ist. Diese Definitionen sind äquivalent.
> Da ich in meinem Fall jedoch nicht über Konvergenz
> argumentieren darf, habe ich folgenden Ansatz:
>
> Wenn ich die Definition einer Cauchyfolge von oben
> betrachte, ist es ja so, dass ich immer den Abstand zweier
> beliebiger Folgeglieder miteinander vergleiche. Wenn ich
> nun alle Möglichkeiten durchgehe, müsste darunter ja auch
> ein Paar von Folgegliedern sein, deren Abstand größer
> ist, als der Abstand aller anderen Folgeglieder zueinander.
> Ich kreiere mir also eine Schranke M, für die gilt:
>
> [ -M, M ] = max ( [mm](a_{n}-a_{m}), (a_{x}-a_{y}),[/mm] ...,
> [mm](a_{N}-a_{M}))[/mm] = ɛ (max)
>
> Meiner Meinung nach habe ich dann so gezeigt, dass jede
> Cauchyfolge beschränkt ist, da der maximale Abstand
> irgendwo in dieser Aufzählung auftreten muss und durch das
> max() ausgegeben wird. Dieses Schrankenintervall hat dann
> gerade die Breite ɛ (max).
Ich blicke da nicht durch. Die Überlegung ist auch viel zu kompliziert, es
geht einfacher:
Sei [mm] $\epsilon=1\,.$ [/mm] (Du kannst auch irgendeine andere positive Zahl wählen,
später werden wir die Unwichtigkeit der Wahl sehen!). Dann gibt es zu diesem
[mm] $\epsilon=1 [/mm] > 0$ ein [mm] $N=N_{\epsilon} \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $|a_n-a_m| \le [/mm] 1$ für alle $n [mm] \ge N\,.$
[/mm]
Wir setzen schonmal
[mm] $M_1:=\max\{|a_1|,...,|a_N|\}\,.$
[/mm]
Für $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt mit $m:=N [mm] \ge [/mm] N$
[mm] $|a_n-a_m| \le 1\,,$
[/mm]
also
[mm] $|a_n-a_N| \le 1\,.$
[/mm]
Weiter ist (für $n [mm] \ge [/mm] N$)
[mm] $|a_n|=|a_N+a_n-a_N| \le |a_N|+|a_n-a_N| \le |a_N|+1\,.$
[/mm]
Ich behaupte: Daher ist mit
[mm] $M:=\max\{M_1, |a_N|+1\}$
[/mm]
dann $-M$ eine untere Schranke für [mm] $(a_n)$ [/mm] und $+M$ eine obere.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Do 13.11.2014 | | Autor: | Springer |
Hallo Marcel,
erst einmal danke, dass du einen so schnellen und vor allem kleinschritten Verbesserungsvorschlag gegeben hast. Trotzdem habe ich noch 1-2 Fragen.
Bis dahin, wo du schreibst:
> Sei [mm]\epsilon=1\,.[/mm] (Du kannst auch irgendeine andere
> positive Zahl wählen,
> später werden wir die Unwichtigkeit der Wahl sehen!).
> Dann gibt es zu diesem
> [mm]\epsilon=1 > 0[/mm] ein [mm]N=N_{\epsilon} \in \IN[/mm] mit
>
> [mm]|a_n-a_m| \le 1[/mm] für alle [mm]n \ge N\,.[/mm]
>
> Wir setzen schonmal
>
> [mm]M_1:=\max\{|a_1|,...,|a_N|\}\,.[/mm]
Habe ich glaube ich alles verstanden. Das definierte [mm] M_1 [/mm] enthält alle Folgeglieder einschließlich dem, für das man das ɛ definiert hat.
Nur Frage ich mich nun, wieso man hier einfach die Beträge der einzelnen Folgeglieder benutzen kann, da man bei Cauchyfolgen ja bloß den Abstand zweier Folgeglieder zueinander betrachtet. Denn [mm] |a_{n}| [/mm] gibt hierbei doch nur den Abstand des Folgegliedes von der x-Achse an. Ich hätte eher erwartet, dass man hier etwas mit Abständen von einzelnen Folgegliedern einsetzen müsste.
> Für [mm]n \ge N[/mm] gilt mit [mm]m:=N \ge N[/mm]
>
> [mm]|a_n-a_m| \le 1\,,[/mm]
>
> also
>
> [mm]|a_n-a_N| \le 1\,.[/mm]
>
> Weiter ist (für [mm]n \ge N[/mm])
>
> [mm]|a_n|=|a_N+a_n-a_N| \le |a_N|+|a_n-a_N| \le |a_N|+1\,.[/mm]
Die Umformung die Du machst, verstehe ich.
Nur bin ich mir nicht sicher, ob ich das richtig zuordne. Die Ungleichung
[mm] |a_{n}| \le |a_{N}| [/mm] + 1
besagt doch hier nur, dass sich alle Folgeglieder nach [mm] |a_{N}| [/mm] innerhalb der Grenze 1 um das Folgeglied [mm] |a_{N}| [/mm] bewegen und nicht wieder mit einem größeren Abstand von diesem entfernen dürfen, oder?
> Ich behaupte: Daher ist mit
>
> [mm]M:=\max\{M_1, |a_N|+1\}[/mm]
>
> dann [mm]-M[/mm] eine untere Schranke für [mm](a_n)[/mm] und [mm]+M[/mm] eine obere.
>
> Gruß,
> Marcel
Grüße Springer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Do 13.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> erst einmal danke, dass du einen so schnellen und vor allem
> kleinschritten Verbesserungsvorschlag gegeben hast.
> Trotzdem habe ich noch 1-2 Fragen.
>
> Bis dahin, wo du schreibst:
>
> > Sei [mm]\epsilon=1\,.[/mm] (Du kannst auch irgendeine andere
> > positive Zahl wählen,
> > später werden wir die Unwichtigkeit der Wahl sehen!).
> > Dann gibt es zu diesem
> > [mm]\epsilon=1 > 0[/mm] ein [mm]N=N_{\epsilon} \in \IN[/mm] mit
> >
> > [mm]|a_n-a_m| \le 1[/mm] für alle [mm]n \ge N\,.[/mm]
> >
> > Wir setzen schonmal
> >
> > [mm]M_1:=\max\{|a_1|,...,|a_N|\}\,.[/mm]
>
> Habe ich glaube ich alles verstanden. Das definierte [mm]M_1[/mm]
> enthält alle Folgeglieder einschließlich dem, für das
> man das ɛ definiert hat.
> Nur Frage ich mich nun, wieso man hier einfach die Beträge
> der einzelnen Folgeglieder benutzen kann, da man bei
> Cauchyfolgen ja bloß den Abstand zweier Folgeglieder
> zueinander betrachtet.
wir wollen zeigen, dass es ein $M [mm] \in \IR$ [/mm] mit
$-M [mm] \le a_n \le [/mm] M$ für alle $n [mm] \in \IN$
[/mm]
gibt. Es ist
[mm] $M_1:=\max\{|a_1|,...,|a_N|\}$
[/mm]
eine Zahl in [mm] $\IR$ [/mm] so, dass schonmal
[mm] $-M_1 \le a_k \le +M_1$ [/mm] für $k=1,...,N$
gilt.
> Denn [mm]|a_{n}|[/mm] gibt hierbei doch nur
> den Abstand des Folgegliedes von der x-Achse an.
???
> Ich hätte
> eher erwartet, dass man hier etwas mit Abständen von
> einzelnen Folgegliedern einsetzen müsste.
Erwartungen müssen nicht erfüllt werden. Beweis: "Angenommen, Frau
täte dies doch..."
Okay, war nur'n Joke. (Ich bin nicht frauenfeindlich, aber ab und an darf
man auch mal fies witzeln...)
> > Für [mm]n \ge N[/mm] gilt mit [mm]m:=N \ge N[/mm]
> >
> > [mm]|a_n-a_m| \le 1\,,[/mm]
> >
> > also
> >
> > [mm]|a_n-a_N| \le 1\,.[/mm]
> >
> > Weiter ist (für [mm]n \ge N[/mm])
> >
> > [mm]|a_n|=|a_N+a_n-a_N| \le |a_N|+|a_n-a_N| \le |a_N|+1\,.[/mm]
>
> Die Umformung die Du machst, verstehe ich.
Das ist auch nur die Dreiecksungleichung. Wer die nicht beherrscht, wird
bei jeder Analysis-Prüfung rausgekickt. 
> Nur bin ich mir nicht sicher, ob ich das richtig zuordne.
> Die Ungleichung
>
> [mm]|a_{n}| \le |a_{N}|[/mm] + 1
>
> besagt doch hier nur, dass sich alle Folgeglieder nach
> [mm]|a_{N}|[/mm] innerhalb der Grenze 1 um das Folgeglied [mm]|a_{N}|[/mm]
> bewegen und nicht wieder mit einem größeren Abstand von
> diesem entfernen dürfen, oder?
Man kann sagen: Für alle $k [mm] \ge [/mm] N$ gilt
[mm] $a_k \in [-|a_N|+1,\;|a_N|+1]\,.$
[/mm]
Unser [mm] $N\,$ [/mm] ist FEST, also ist auch [mm] $|a_N|$ [/mm] FEST - und wenn auch
[mm] $a_N=-10346783647236785,7435798745$
[/mm]
wäre...
> > Ich behaupte: Daher ist mit
> >
> > [mm]M:=\max\{M_1, |a_N|+1\}[/mm]
> >
> > dann [mm]-M[/mm] eine untere Schranke für [mm](a_n)[/mm] und [mm]+M[/mm] eine obere.
> >
> > Gruß,
> > Marcel
Ist der Rest klar? Warum gilt denn nun
$-M [mm] \le a_k \le [/mm] +M$
für ALLE $k [mm] \in \IN$?
[/mm]
Wenn Du das nochmal nachträglich beweisen willst: Für $k [mm] \in \IN$ [/mm] tritt genau einer
der beiden Fälle ein: Entweder ist $k [mm] \in \{1,...,N\}$ [/mm] oder es ist $k [mm] \notin \{1,...,N\}$;
[/mm]
und damit wegen $k [mm] \in \IN$ [/mm] gilt im letzten Fall $k > [mm] N\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:05 Do 13.11.2014 | | Autor: | Springer |
Ich glaube jetzt habe ich es verstanden.
Ich danke Dir :)
|
|
|
|
