Cauchyfolge Nachweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei g = (tn) durch
tn := [mm] \summe_{k=1}^{n}((-1)^{k-1})/k [/mm] definiert. Dann ist g eine Cauchyfolge. |
Hallo,
mir liegt der Nachweis fuer das Cauchykriterium vor, aber ganz schlau werd ich wieder mal nicht draus:
"Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gegeben, und sei n0 so gewaehlt, dass 1/n0 [mm] \le \varepsilon [/mm] gilt. Wir zeigen
|tn - tn0| < [mm] \varepsilon [/mm] fuer jedes n [mm] \ge [/mm] n0.
Der Fall n = n0 ist trivial. Im Fall n > n0 gilt
(-1)^n0(tn - tn0) = (-1)^n0 * [mm] \summe_{k=n0 + 1}^{n} [/mm] ((-1)^(k - 1))/k"
Moment, was geschieht hier? Was soll das "(-1)^n0" ganz am Anfang des Terms. Das Cauchy-Kriterium ist doch tn - tn0 < [mm] \varepsilon, [/mm] nicht (-1)^n0 * (tn - tn0)! Weiter geht's dann mit:
"= 1/(n0 + 1) - 1/(n0 + 2) + ... + ((-1)^(n - 1 + n0))/n
= (1/(n0 + 1) - 1/(n0 + 2)) + ... + (1/(n - 1) - 1/n), falls n + n0 gerade
= (1/(n0 + 1) - 1/(n0 + 2)) + ... + 1/n, falls n + n0 ungerade.
Da in jeder Klammer eine positive Zahl steht, gilt also
(*) (-1)^n0(tn - tn0) [mm] \ge [/mm] 0
und
|tn - tn0| = (-1)^n0(tn - tn0)
= 1/(n0 + 1) - (1/(n0 + 2) - + ... ((-1)^(n - 1 + n0))/n)
= 1/(n0 + 1) - ((-1)^(n0 + 1))(tn - tn0 + 1)
[mm] \le [/mm] 1/(n0 + 1) (wegen (*))
< [mm] \varepsilon"
[/mm]
Verstehe leider nur Bahnhof. Kann da einer folgen?
LG
Martin
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:33 Do 05.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Martin
> Sei g = (tn) durch
>
> tn := [mm]\summe_{k=1}^{n}((-1)^{k-1})/k[/mm] definiert. Dann ist g
> eine Cauchyfolge.
> Hallo,
> mir liegt der Nachweis fuer das Cauchykriterium vor, aber
> ganz schlau werd ich wieder mal nicht draus:
>
> "Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0 gegeben, und sei n0 so gewaehlt, dass
> 1/n0 [mm]\le \varepsilon[/mm] gilt. Wir zeigen
>
> |tn - tn0| < [mm]\varepsilon[/mm] fuer jedes n [mm]\ge[/mm] n0.
>
> Der Fall n = n0 ist trivial. Im Fall n > n0 gilt
>
> (-1)^n0(tn - tn0) = (-1)^n0 * [mm]\summe_{k=n0 + 1}^{n}[/mm]
> ((-1)^(k - 1))/k"
>
> Moment, was geschieht hier? Was soll das "(-1)^n0" ganz am
> Anfang des Terms. Das Cauchy-Kriterium ist doch tn - tn0 <
> [mm]\varepsilon,[/mm] nicht (-1)^n0 * (tn - tn0)! Weiter geht's dann
Das Cauchy-Kriterium ist NICHT tn - tn0 [mm] <\varepsilon; [/mm] sondern |tn - tn0| [mm] <\varepsilon
[/mm]
und oben ist einfach ne richtige Gleichung mit [mm] (-1)^{n_0}
[/mm]
multipliziert.
direkt darunter wird dann gezeigt , dass (-1)^n0(tn - tn0) [mm]\ge[/mm] 0
und damit $(-1)^n0(tn - tn0) =|(-1)^n0(tn - [mm] tn0)|=|t_n-t_{n_0}| [/mm] $
na ja und dann wird [mm] <\varepsilon [/mm] gezeigt!
Gruss leduart
> mit:
>
> "= 1/(n0 + 1) - 1/(n0 + 2) + ... + ((-1)^(n - 1 + n0))/n
>
> = (1/(n0 + 1) - 1/(n0 + 2)) + ... + (1/(n - 1) - 1/n),
> falls n + n0 gerade
>
> = (1/(n0 + 1) - 1/(n0 + 2)) + ... + 1/n, falls n + n0
> ungerade.
>
> Da in jeder Klammer eine positive Zahl steht, gilt also
>
> (*) (-1)^n0(tn - tn0) [mm]\ge[/mm] 0
>
> und
>
> |tn - tn0| = (-1)^n0(tn - tn0)
> = 1/(n0 + 1) - (1/(n0 + 2) - + ... ((-1)^(n - 1 + n0))/n)
> = 1/(n0 + 1) - ((-1)^(n0 + 1))(tn - tn0 + 1)
> [mm]\le[/mm] 1/(n0 + 1) (wegen (*))
> < [mm]\varepsilon"[/mm]
>
> Verstehe leider nur Bahnhof. Kann da einer folgen?
>
> LG
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> Martin
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