Cauchyfolge/Beweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:32 Mi 22.02.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | | Seien [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] Cauchyfolgen rationaler Zahlen. Dann gilt entweder, dass [mm] (a_n [/mm] - [mm] b_n) [/mm] gegen Null konvergiert, odr es existiert ein N [mm] \in \IN, [/mm] sodass entweder [mm] a_n [/mm] < [mm] b_n [/mm] oder [mm] a_n [/mm] > [mm] b_n [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N |
Ja ich komme wiedermal mit einen beweis im Skriptum nicht zurrecht:
Angenommen [mm] (a_n [/mm] - [mm] b_n) [/mm] konvergiert nicht gegen Null, d.h.
[mm] \exists \epsilon_0 [/mm] > 0: [mm] \forall [/mm] N [mm] \in \IN: \exists [/mm] n [mm] \ge [/mm] N : | [mm] a_n [/mm] - [mm] b_N| \ge \epsilon_0
[/mm]
Für dieses [mm] \epsilon_0 [/mm] wählen wir nun [mm] N_0 \in \IN [/mm] sodass
[mm] |a_m [/mm] - [mm] a_n|, |b_m [/mm] - [mm] b_n| [/mm] < [mm] \frac{\epsilon_0}{2} [/mm]
[mm] \forall [/mm] m,n [mm] \ge N_0
[/mm]
Es gibt ein [mm] n_0 \ge N_0, [/mm] sodasss [mm] |a_n_0 [/mm] - [mm] b_n_0| \ge \epsilon_0. [/mm] Daher gilt entweder [mm] {a_n}_0<{b_n}_0 [/mm] - [mm] \epsilon_0 [/mm] oder [mm] {a_n}_0>{b_n}_0 [/mm] + [mm] \epsilon_0. [/mm] Nehmen wir ersteres an, dann gilt für alle n [mm] \ge N_0
[/mm]
[mm] a_n <{a_n}_0 [/mm] + [mm] \epsilon/2 <{b_n}_0 [/mm] - [mm] \epsilon/2 [/mm] < [mm] b_n
[/mm]
Ich komme mit dem beweis und ddn Bezeichnungen [mm] {b_n}_0 [/mm] (was sie bedeuten) gar nicht zurrecht und wäre sehr dankbar, wenn mir den wer erkkären könnte!!
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:38 Mi 22.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm] Cauchyfolgen rationaler Zahlen. Dann
> gilt entweder, dass [mm](a_n[/mm] - [mm]b_n)[/mm] gegen Null konvergiert, odr
> es existiert ein N [mm]\in \IN,[/mm] sodass entweder [mm]a_n[/mm] < [mm]b_n[/mm] oder
> [mm]a_n[/mm] > [mm]b_n[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] N
> Ja ich komme wiedermal mit einen beweis im Skriptum nicht
> zurrecht:
>
> Angenommen [mm](a_n[/mm] - [mm]b_n)[/mm] konvergiert nicht gegen Null, d.h.
> [mm]\exists \epsilon_0[/mm] > 0: [mm]\forall[/mm] N [mm]\in \IN: \exists[/mm] n [mm]\ge[/mm] N
> : | [mm]a_n[/mm] - [mm]b_N| \ge \epsilon_0[/mm]
Hier heißt es sicher:
| [mm]a_n[/mm] - [mm]b_n| \ge \epsilon_0[/mm]
> Für dieses [mm]\epsilon_0[/mm]
> wählen wir nun [mm]N_0 \in \IN[/mm] sodass
> [mm]|a_m[/mm] - [mm]a_n|, |b_m[/mm] - [mm]b_n|[/mm] < [mm]\frac{\epsilon_0}{2}[/mm]
> [mm]\forall[/mm] m,n [mm]\ge N_0[/mm]
>
> Es gibt ein [mm]n_0 \ge N_0,[/mm] sodasss [mm]|a_n_0[/mm] - [mm]b_n_0| \ge \epsilon_0.[/mm]
> Daher gilt entweder [mm]{a_n}_0<{b_n}_0[/mm] - [mm]\epsilon_0[/mm] oder
> [mm]{a_n}_0>{b_n}_0[/mm] + [mm]\epsilon_0.[/mm] Nehmen wir ersteres an, dann
> gilt für alle n [mm]\ge N_0[/mm]
> [mm]a_n <{a_n}_0[/mm] + [mm]\epsilon/2 <{b_n}_0[/mm]
> - [mm]\epsilon/2[/mm] < [mm]b_n[/mm]
>
> Ich komme mit dem beweis und ddn Bezeichnungen [mm]{b_n}_0[/mm] (was
> sie bedeuten) gar nicht zurrecht und wäre sehr dankbar,
> wenn mir den wer erkkären könnte!!
Wir haben doch:
(*) $ [mm] \exists \epsilon_0 [/mm] $ > 0: $ [mm] \forall [/mm] $ N $ [mm] \in \IN: \exists [/mm] $ n $ [mm] \ge [/mm] $ N : | $ [mm] a_n [/mm] $ - $ [mm] b_n| \ge \epsilon_0 [/mm] $
Ist nun [mm] N_0 [/mm] wie oben, so ex. nach (*) ein [mm] n_0 \ge N_0 [/mm] mit:
| $ [mm] a_{n_0} [/mm] $ - $ [mm] b_{n_0}| \ge \epsilon_0 [/mm] $
FRED
> LG
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:56 Mi 22.02.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo,
was ist aber der Unterschied zwischen den Schreibweise [mm] a_n [/mm] und [mm] a_n_0
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:22 Fr 24.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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