Cauchyfolge -beweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 Di 28.11.2006 | | Autor: | toggit |
| Aufgabe | Beweisen oder wiederlegen Sie:
a)
Sei [mm] f:\IR \to \IR [/mm] eine Abbildung, so dass [mm] q\in \IR [/mm] mit 0<q<1 existiert und für alle [mm] x_{1},x_{2}\in \IR [/mm] gilt: [mm] |f(x_{1})-f(x_{2})|\leq|x_{1}-x_{2}|.
[/mm]
*)
Sei die Folge [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] definiert durch [mm] a_{0}\in\IR [/mm] beliebig und [mm] a_{n+1}=f(a_{n}) [/mm] für [mm] n\in\IN.
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Folge [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] für jedes beliebige [mm] a_{0}\in\IR [/mm] gegen denselben Grenzwert [mm] a\in\IR [/mm] konvergiert und dass f(a)=a gilt.
b)
Eine Folge [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] erfülle: [mm] |a_{n+1}-a_{n}|\to0 [/mm] für [mm] n\to\infty. [/mm] Dann ist [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] Cauchyfolge. |
Hallo, habe ein paar Verständnisproblemen mit diese aufgabe, und zwar:
erstens, wie soll ich das ganze überhaupt einbeissen? die reihe-definition durch funktion ist bisschen verwirend aber habe ich das folgend gemacht:
[mm] |f(x_{1})-f(x_{2})|\leq|x_{1}-x_{2}|\Rightarrow |x_{3}-x_{2}|\leq|x_{2}-x_{1}| \Rightarrow [/mm] in allgemeinen für [mm] a_{n}
[/mm]
[mm] |a_{n+2}-a_{n+1}|\leq|a_{n+1}-a_{n}|
[/mm]
ist das ok? tja aber wie ich denn beweise dass für jedes beliebige [mm] a_{0}\in\IR [/mm] gegen denselben Grenzwert [mm] a\in\IR [/mm] konvergiert und dass f(a)=a gilt?
zweitens, wenn punkt a) beim *) anfängt hat dass meine meinung nach mehr sinn, aber sowieso b) - dass ist doch andere interpretation von Cauchy-konvergenzkriterien also was um gottes willen soll ich hier beweisen?
ich bitte um hilfe mfg toggit
|
|
| |
|
Hallo,
ich glaube, daß Du ein Detail bei der Aufgabenstellung übersehen hast.
Bestimmt heißt es doch:
> Beweisen oder wiederlegen Sie:
>
> a)
> Sei [mm]f:\IR \to \IR[/mm] eine Abbildung, so dass [mm]q\in \IR[/mm] mit
> 0<q<1 existiert und für alle [mm]x_{1},x_{2}\in \IR[/mm] gilt:
[mm] |f(x_{1})-f(x_{2})| \le [/mm] q [mm] |x_{1}-x_{2}|.
[/mm]
> *)
> Sei die Folge [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] definiert durch
> [mm]a_{0}\in\IR[/mm] beliebig und [mm]a_{n+1}=f(a_{n})[/mm] für [mm]n\in\IN.[/mm]
> Zeigen Sie, dass die Folge [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] für jedes
> beliebige [mm]a_{0}\in\IR[/mm] gegen denselben Grenzwert [mm]a\in\IR[/mm]
> konvergiert und dass f(a)=a gilt.
>
> b)
> Eine Folge [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] erfülle: $ [mm] |a_{n+1}-a_{n}|\to0 [/mm] $
> für [mm]n\to\infty.[/mm] Dann ist [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] Cauchyfolge.
Ich würde mit Aufgabe b) beginnen.
Zu zeigen ist dort, daß, wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|a_{n+1}-a_{n}|=0, [/mm] die Folge [mm] (a_n) [/mm] ein Cauchyfolge ist.
Hierzu zunächst nur ein Hinweis: es ist [mm] |a_{m}-a_{n}|=|(a_{m}- a_{m-1})+(a_{m-1}-a_{m-2})+....-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_{n})| \le [/mm] ...
Nehmen wir an, b) wäre bewiesen.
Nun zu a) Du kannst zeigen, daß [mm] |a_{n+1})-a_{n}| \le q^n |f(a_0)-a_0| [/mm] ist.
Hieraus erhältst Du [mm] |a_{n+1})-a_{n}| [/mm] ------> 0.
Wegen b) weißt Du: [mm] (a_n) [/mm] ist Cauchyfolge.
Hieraus erhältst Du die Konvergenz.
Aus [mm] f(a_n)=a_{n-1} [/mm] bekommst du den Rest.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
