Cauchyfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:41 Di 20.11.2012 | | Autor: | petapahn |
| Aufgabe | Beweise:
Eine Folge reeler Zahlen [mm] b_{n}, [/mm] für die gilt: [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IR, [/mm] n>N: [mm] |a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n}| \le (\bruch{1}{2})^{n}, [/mm] ist eine Cauchyfolge. |
Hallo liebes Forum,
ich komme gerade nicht recht weiter.
Cauchyfolge heißt ja, dass die Folge konvergent ist und die Abstände zwischen den Folgegliedern beliebig klein werden.
Ich muss also zeigen, dass allgemein gilt (Cauchykriterium):
[mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IR [/mm] m,n [mm] \in \IN, [/mm] m,n>N: [mm] |a_{m} [/mm] - [mm] a_{n}| \le (\bruch{1}{2})^{n} [/mm]
Ich habe mir überlegt, irgendwie Intervallschachtelung reinzubringen, da |I| [mm] \le 2^{-n} [/mm]
Aber irgendwie weiß ich nicht wie ich das dann beweisen soll.
Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen
Viele Grüße,
petapahn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:45 Di 20.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Beweise:
> Eine Folge reeler Zahlen [mm]b_{n},[/mm] für die gilt: [mm]\exists[/mm] N
> [mm]\in \IR,[/mm] n>N: [mm]|a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}| \le (\bruch{1}{2})^{n},[/mm] ist
> eine Cauchyfolge.
Lautet die Aufgabe wirklich so ?
Nimm mal [mm] a_n=(-1)^n.
[/mm]
Dann ist [mm] 0=|a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n}| \le (\bruch{1}{2})^{n} [/mm] für jedes n.
[mm] (a_n) [/mm] ist keine Cauchyfolge.
Edit: obiges ist Unsinn. Es war einfach zu früh.
FRED
> Hallo liebes Forum,
> ich komme gerade nicht recht weiter.
> Cauchyfolge heißt ja, dass die Folge konvergent ist und
> die Abstände zwischen den Folgegliedern beliebig klein
> werden.
> Ich muss also zeigen, dass allgemein gilt
> (Cauchykriterium):
> [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IR[/mm] m,n [mm]\in \IN,[/mm] m,n>N: [mm]|a_{m}[/mm] - [mm]a_{n}| \le (\bruch{1}{2})^{n}[/mm]
> Ich habe mir überlegt, irgendwie Intervallschachtelung
> reinzubringen, da |I| [mm]\le 2^{-n}[/mm]
> Aber irgendwie weiß ich nicht wie ich das dann beweisen
> soll.
> Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen
> Viele Grüße,
> petapahn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:53 Di 20.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Fred,
> Nimm mal [mm]a_n=(-1)^n.[/mm]
>
> Dann ist [mm]0=|a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}|[/mm]
Nein. [mm] $|a_{n+1}-a_n|=2$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:59 Di 20.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
>
> > Nimm mal [mm]a_n=(-1)^n.[/mm]
> >
> > Dann ist [mm]0=|a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}|[/mm]
> Nein. [mm]|a_{n+1}-a_n|=2[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm].
Hallo Tobias,
da hab ich mächtig ins Klo gegriffen ! War wohl zu früh.
Gruß Fred
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:06 Di 20.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Beweise:
> Eine Folge reeler Zahlen [mm]b_{n},[/mm] für die gilt: [mm]\exists[/mm] N
> [mm]\in \IR,[/mm] n>N: [mm]|a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}| \le (\bruch{1}{2})^{n},[/mm] ist
> eine Cauchyfolge.
> Hallo liebes Forum,
> ich komme gerade nicht recht weiter.
> Cauchyfolge heißt ja, dass die Folge konvergent ist und
> die Abstände zwischen den Folgegliedern beliebig klein
> werden.
> Ich muss also zeigen, dass allgemein gilt
> (Cauchykriterium):
> [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IR[/mm] m,n [mm]\in \IN,[/mm] m,n>N: [mm]|a_{m}[/mm] - [mm]a_{n}| \le (\bruch{1}{2})^{n}[/mm]
> Ich habe mir überlegt, irgendwie Intervallschachtelung
> reinzubringen, da |I| [mm]\le 2^{-n}[/mm]
> Aber irgendwie weiß ich nicht wie ich das dann beweisen
> soll.
> Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen
> Viele Grüße,
> petapahn
Zeige induktiv:
[mm]|a_{n+k}[/mm] - [mm]a_{n}| \le (\bruch{1}{2})^{n-1},[/mm] für n>N und k [mm] \in \IN
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:09 Di 20.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo nochmal,
> Zeige induktiv:
>
> [mm]|a_{n+k}[/mm] - [mm]a_{n}| \le (\bruch{1}{2})^{n-1},[/mm] für n>N und k
> [mm]\in \IN[/mm]
Du meinst Induktion nach k, oder? Da erscheint mir die Induktionsvoraussetzung ein wenig schwach, um den Induktionsschluss erfolgreich durchzuführen. Daher schlage ich vor, für $n>N$ per Induktion nach k die Aussage
[mm] $|a_{n+k}-a_n|\le\left(\bruch12\right)^{n-1}-\left(\bruch12\right)^{n-1+k}$
[/mm]
zu zeigen, was deine Aussage impliziert.
Alternativ könnte man für k>0 mit Pünktchen-Notation arbeiten:
[mm] $|a_n-a_{n+k}|\le|a_n-a_{n+1}|+|a_{n+1}-a_{n+2}|+\ldots+|a_{n+k-1}-a_{n+k}|\le\left(\bruch12\right)^n+\left(\bruch12\right)^{n+1}+\ldots+\left(\bruch12\right)^{n+k-1}=\sum_{i=n}^{n+k-1}\left(\bruch12\right)^i=\sum_{i=0}^{n+k-1}\left(\bruch12\right)^i-\sum_{i=0}^{n-1}\left(\bruch12\right)^i$
[/mm]
und dann die Formel für die endliche geometrische Reihe anwenden.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Di 20.11.2012 | | Autor: | petapahn |
Woher weiß ich, dass [mm] |a_{n+2} [/mm] - [mm] a_{n+1}| \le 2^{-n+1}?
[/mm]
Das müsste ich erst induktiv zeigen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:50 Di 20.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Woher weiß ich, dass [mm]|a_{n+2}[/mm] - [mm]a_{n+1}| \le 2^{-n+1}?[/mm]
>
> Das müsste ich erst induktiv zeigen oder?
Nein. Die Voraussetzung sagt uns: Für alle $m>N$ gilt [mm] $|a_{m+1}-a_m|\le\left(\bruch12\right)^m$. [/mm] Wenn du dies für $m:=n+1>n>N$ anwendest, erhältst du [mm] $|a_{(n+1)+1}-a_{n+1}|\le \left(\bruch12\right)^{n+1}$.
[/mm]
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