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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:49 So 06.05.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Ist die Funktionenfolge [mm] f_n [/mm] (x) [mm] =e^{-nx} [/mm] eine Cauchyfolge? Im Intervall C([0,1]) |
Für x=0 ist es klar, dass es sich ume eine Cauchyfolge handelt
Aber wie kann ich in Intervall x [mm] \in [/mm] (0,1]
[mm] |e^{-nx} [/mm] - [mm] e^{-mx}| [/mm] abschätzten, dass ich erreiche, dass dieser term < [mm] \epsilon [/mm] wir für n,m > N ?
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Hallo sissile,
muss das mit dem Cauchy-Kriterium gezeigt werden? Du könntest sonst doch einfach ausnutzen, dass es sich in (0;1] um eine Nullfoge handelt...
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:59 Mo 07.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ist die Funktionenfolge [mm]f_n[/mm] (x) [mm]=e^{-nx}[/mm] eine Cauchyfolge?
> Im Intervall C([0,1])
> Für x=0 ist es klar, dass es sich ume eine Cauchyfolge
> handelt
> Aber wie kann ich in Intervall x [mm]\in[/mm] (0,1]
> [mm]|e^{-nx}[/mm] - [mm]e^{-mx}|[/mm] abschätzten, dass ich erreiche, dass
> dieser term < [mm]\epsilon[/mm] wir für n,m > N ?
Ich glaube, dass Du untersuchen sollst, ob es sich bei [mm] (f_n) [/mm] um eine Cauchyfolge im normierten Raum (C[0,1], [mm] ||*||_{\infty}) [/mm] handelt.
Damit sollst Du entscheiden , ob es zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] >0 ein N [mm] \in \IN [/mm] gibt mit:
[mm] ||f_n-f_m||_{\infty} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für n,m > N.
Lautet die Aufgabe so ?
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:21 Mo 07.05.2012 | | Autor: | sissile |
Ich bitte un Entschuldigung, hätte ich besser anschreiben sollen.
Die gesamte AUfgabe:
Untersuche:
Konvergenzverhalten der Funktionenfolge [mm] {f_n (x) = e^{-nx}} [/mm] in {C([0,1])} bezüglich der Normen [mm] {||.||_p, p \in [1, \infty]}
[/mm]
Ich nehme an es handle sich um eine Cauchyfolge.
[mm] \forall \epsilon> [/mm] 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN, \forall [/mm] n,m > N und [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1]:
[mm] |f_n [/mm] (x) - [mm] f_m [/mm] (x)| < [mm] \epsilon
[/mm]
es soll für alle x gelten also auch für das supremum.
[mm] \forall [/mm] m,n > [mm] N\in \IN: sup_{x \in (0,1]} |e^{-nx} [/mm] - [mm] e^{-mx} [/mm] | < [mm] \epsilon
[/mm]
Weite komme ich nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mi 09.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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