Cauchy kriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 Di 05.02.2008 | | Autor: | Phecda |
hi
die def. des cauchy kriterium für folgen hab ich soweit verstanden, vereinfacht. der abstand muss ab einem gewissen folgeglieder immer kleiner werden.
nur weiß ich nicht sogenau wie ich damit "rechne"
könnte jmd ein bsp posten und erklären, wie man sowas rechnet ...
das wäre sehr cool
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Di 05.02.2008 | | Autor: | pelzig |
Hi,
z.z.: [mm] $(a_n):=(1/n)_{n\in\IN}$ [/mm] konvergiert.
Beweis: Sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und $m>n$. Dann ist [mm] $|a_n-a_m|=|\frac{1}{n}-\frac{1}{m}|=|\frac{m-n}{nm}|\le|\frac{m}{nm}|=\frac{1}{n}\le\varepsilon$ [/mm] für [mm] $n\ge\frac{1}{\varepsilon}=:n_0(\varepsilon)\quad\Box$
[/mm]
Das findest du aber auch in jedem Buch, deshalb nehm ich an dass du an dem Beispiel schon irgendwas nich ganz verstehst (?), das müsstest du dann schon etwas genauer erklären.
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ich sitze grad vor dem selben thema...(in meinem mathebuch stand das beispiel net drinne :D)
aber ich hab trotzdem eine frage. was genau sind denn diese [mm] a_m a_n?
[/mm]
sind das einfach 2 nichtgleiche glieder aus der folge ?
und was ist das [mm] n_0(epsilon)? [/mm] ist es ein Index, ab dem die epsilonumgebung quasi beginnt? also dann auch ein glied der folge?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:05 Do 07.02.2008 | | Autor: | pelzig |
Also nehmen wir nochmal die Definition her. Eine Folge konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. Eine Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN} [/mm] heißt Cauchy-Folge, falls gilt:
[mm] $\forall\varepsilon>0:\exists n_0(\varepsilon)\in\IN:\forall m>n>n_0(\varepsilon):|a_m-a_n|<\varepsilon$.
[/mm]
D.h. Für jedes (noch so kleine) [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] müssen wir einen Index [mm] $n_0$ [/mm] finden, der von [mm] $\varepsilon$ [/mm] abhängen darf (deshalb auch [mm] $n_0(\varepsilon)$), [/mm] sodass die Differenz von beliebigen, späteren Folgegliedern stets kleiner als [mm] $\varepsilon$ [/mm] ist.
Genauso läuft auch der Beweis ab. Ich gebe mir ein beliebiges [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] vor, dann betrachte ich die Differenz von zwei beliebigen Folgengliedern (*), und schätze es nach oben ab: [mm] $|a_m-a_n|\le ...\le \frac{1}{n}$. [/mm] D.h. die Differenz ist immer kleinergleich $1/n$. Wir wollen wissen, ab welchem $n$ dies kleiner als unser vorgegebens [mm] $\varepsilon$ [/mm] wird, aber das ist leicht, denn [mm] $1/n<\varepsilon\Leftrightarrow n>1/\varepsilon$. [/mm] Insgesamt wissen wir also nun dass die Differenz kleiner als jedes [mm] $\varepsilon$ [/mm] ist, sobald die Indizes größer als [mm] $1/\varepsilon$ [/mm] sind - dies wählen wir als [mm] $n_0(\varepsilon)$ [/mm] (wir könnten aber auch jede größere natürliche Zahl wählen!) und der Beweis ist [mm] erbracht.$\Box$
[/mm]
Dieses Kriterium ist deshalb so wichtig, weil man damit Konvergenz beweisen kann ohne den Grenzwert zu kennen.
(*) ohne Beschränkung der Allgemeinheit dürfen wir $m>n$ annehmen, denn für $m=n$ ist [mm] $|a_m-a_n|=0$ [/mm] und somit kleiner als [mm] $\varepsilon$, [/mm] und für m<n kann ich [mm] $|a_m-a_n|=|(-1)\cdot(a_n-a_m)|=|a_n-a_m|$ [/mm] schreiben, und wir sind wieder beim Fall m>n, nur dass m und n ihre Rollen vertauscht haben.
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hey wollte mich nur mal kurz für die mühe bedanken. endlich mal bisschen klarheit geschaffen in meinem kopf mit den ganzen bezeichnungen.
war echt hilfreich :D thx again
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