Cauchy-Schwarz-Ungleichung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:43 Mi 27.07.2005 | | Autor: | Julio |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Es geht um die Cauchy-Schwarz-Ungleichung:
[mm] ||\le\parallel x\parallel *\parallel y\parallel
[/mm]
Ich verstehe nicht, warum auf der linken Seite Betragsstriche stehen müssen: Das Skalarprodukt ist doch per Definition positiv definit, d.h. <x,y> kann gar nicht kleiner als null sein. In allen gängigen Beweisen wird immer
[mm] ^{2}\le\parallel x\parallel^{2}*\parallel y\parallel [/mm] ^{2}
gezeigt. Da wie gesagt [mm] \ge [/mm] 0 ist, folgt doch daraus dann
[mm] \le\parallel x\parallel *\parallel y\parallel,
[/mm]
also ohne Betrag auf der linken Seite. Oder...?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:31 Do 28.07.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Julio!
Positiv definit heißt lediglich, dass für alle [mm] $x\in [/mm] V$ stets [mm] $\langle x,x\rangle\geq [/mm] 0$ gilt, wobei Gleichheit nur für $x=0$ eintritt. Für [mm] $x,y\in [/mm] V$ und [mm] $x\not= [/mm] y$ kann durchaus [mm] $\langle x,y\rangle [/mm] <0$ gelten.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:31 Do 28.07.2005 | | Autor: | MatthiasKr |
Hallo,
> Es geht um die Cauchy-Schwarz-Ungleichung:
> [mm]||\le\parallel x\parallel *\parallel y\parallel[/mm]
Eine sehr wichtige ungleichung!
> Ich verstehe nicht, warum auf der linken Seite
> Betragsstriche stehen müssen...
Mal abgesehen davon, dass das skalarprodukt zweier vektoren durchaus negativ sein kann (siehe hannos post), hast du irgendwie auch recht: zumindest in reellen Vektorräumen stimmt die aussage auch ohne betragsstriche! allerdings ist sie mit betragsstrichen viel stärker, weil man den wert des skalarproduktes gleichzeitig auch 'nach unten' abschätzt.
Sobald man sich in einem komplexen vektorraum befindet, macht die aussage sowieso nur noch mit betragsstrichen sinn, weil auf den komplexen zahlen keine [mm] $\le$-Relation [/mm] definiert ist.
Viele Grüße
Matthias
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