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| Aufgabe | [mm] x''=\bruch{1}{x^{2}}
[/mm]
Diese eindimensionale DGL zweiter Ordnung soll als zweidimensionale Gleichung erster Ordnung in der (x,x')-Ebene umgeschrieben werden. |
Hallo an alle,
zu oben stehender Aufgabe habe ich so einige Fragen. 
Zuerst habe ich die Cauchy-Riemann-Bedingung, dass [mm] \bruch{dg}{dx}(x,y)=\bruch{dh}{dy}(x,y) [/mm] und [mm] \bruch{dg}{dy}(x,y)=-\bruch{dh}{dx}(x,y) [/mm] im Sinne der oberen Fragestellung umgestellt.
Sei x=x und y=x', dann gilt [mm] dg=\bruch{dh dx}{dx'}(x,x') [/mm] und [mm] dg=\bruch{dh dx'}{dx}(x,x') \Rightarrow \bruch{dh dx}{dx'}(x,x')=\bruch{dh dx'}{dx}(x,x') \Rightarrow \bruch{dx}{dx'}(x,x')=\bruch{dx'}{dx}(x,x').
[/mm]
Des Weiteren ist dx=x' (x' ist als erste Ableitung in unserem Skript definiert) und somit dx'=x''.
[mm] \Rightarrow \bruch{x'}{dx'}(x,x')=\bruch{x''}{dx}(x,x')
[/mm]
da [mm] x''=\bruch{1}{x^{2}} \Rightarrow \bruch{x'}{dx'}(x,x')=\bruch{\bruch{1}{x^{2}}}{dx}(x,x').
[/mm]
Umgestellt ergibt das dass x' dx = [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] dx'.
Ich weiß dass als nächster Schritt integriert werden müsste, aber um dies zu dürfen benötige ich doch folgende Gleichung x' dx' = [mm] \bruch{1}{x^{2}} [/mm] dx, auf die ich allerdings nicht komme.
Wo liegt mein Denkfehler? Gehe ich falsch ran? Dass die Cauchy-Riemann-Bedingung benutzt werden muss weiß ich sicher.
Ich bitte um Hilfe
Liebe Grüße und Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:07 Di 21.08.2012 | | Autor: | teo |
Hallo, also ich weiß ehrlich gesagt nicht was du da gemacht hast...
Ich machs immer so:
Es ist [mm] x''=\frac{1}{x^2}[/mm]. Ich verwende jetzt [mm] x_{0} [/mm] (d.h. x nicht abgeleitet 0-mal) und [mm] x_1 [/mm] (d.h. x 1-mal abgeleitet) für die bessere Übersichtlichkeit. Dann gilt:
[mm] x_0'=x_1 [/mm]
[mm] x_1'=\frac{1}{x_0^2} [/mm]
also ist dein neues DGl system ohne diese Indizes:
[mm]\vektor{x \\ x'}' = \vektor{ x' \\ \frac{1}{x^2}} [/mm]
Ich weiß jetzt nicht, ob das wirklich die Frage beantwortet, deswegen lasse ich es mal offen.
Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 Di 21.08.2012 | | Autor: | paula_88 |
Hey teo,
vielen Dank für die Antwort, aber dieses System kenne ich auch, die Aufgabe soll allerdings explizit mit der Cauchy-Riemann-Gleichung gelöst werden, deshalb habe ich es so versucht
Ich hoffe also noch auf weitere Antworten.
Liebe Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Do 23.08.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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