Cauchy-Produkt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Produkt von zwei absolut konvergenten Reihen (für [mm] \left| z \right| [/mm] < [mm] 2\pi) [/mm]
[mm] \left( \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{B_k}{k!} z^{k} \right) [/mm] = [mm] \left( \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k!} z^{k} \right) [/mm] |
Konvergenzradius (für [mm] \left| z \right| [/mm] < [mm] 2\pi) [/mm] wurde bestimmt.
Nun meine Frage:
Ist das folgende Cauchy-Produkt so korrekt? Komme mit den Indizes hin und wieder ein wenig durcheinander.
[mm] \left( \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{B_k}{k!} z^{k} \right) [/mm] = [mm] \left( \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k!} z^{k} \right) [/mm]
=
[mm] \left( \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{B_k}{k!} z^{k} \right) [/mm] = [mm] \left( \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{(k+1)!} z^{(k+1)} \right)
[/mm]
=
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \left( \summe_{i=0}^{k} \bruch{B_i}{(k-(i+1))! i!} z^{(k-(i+1)+i)} \right)
[/mm]
=
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \left( \summe_{i=0}^{k} \bruch{B_i}{(k-(i+1))! i!} z^{(k-1)} \right)
[/mm]
=
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \left( \summe_{i=0}^{k-1} \bruch{B_k}{(k-i)! i!} z^{k} \right)
[/mm]
Besten Dank schon mal.
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Hallo Jaqueline,
> Produkt von zwei absolut konvergenten Reihen (für [mm]\left| z \right|[/mm]
> < [mm]2\pi)[/mm]
>
> [mm]\left( \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{B_k}{k!} z^{k} \right)[/mm]
> = [mm]\left( \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k!} z^{k} \right)[/mm]
>
> Konvergenzradius (für [mm]\left| z \right|[/mm] < [mm]2\pi)[/mm] wurde
> bestimmt.
>
> Nun meine Frage:
>
> Ist das folgende Cauchy-Produkt so korrekt? Komme mit den
> Indizes hin und wieder ein wenig durcheinander.
>
> [mm]\left( \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{B_k}{k!} z^{k} \right)[/mm]
> = [mm]\left( \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k!} z^{k} \right)[/mm]
> =
> [mm]\left( \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{B_k}{k!} z^{k} \right)[/mm]
> = [mm]\left( \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{(k+1)!} z^{(k+1)} \right)[/mm]
>
> =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \left( \summe_{i=0}^{k} \bruch{B_i}{(k-(i+1))! i!} z^{(k-(i+1)+i)} \right)[/mm]
>
> =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \left( \summe_{i=0}^{k} \bruch{B_i}{(k-(i+1))! i!} z^{(k-1)} \right)[/mm]
>
> =
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \left( \summe_{i=0}^{k-1} \bruch{B_k}{(k-i)! i!} z^{k} \right)[/mm]
das musste nochmal nachrechnen. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Und zwar beginnen beide Reihen mit dem Index 1, also mit [mm]z^1[/mm].
Daher muss das Produkt beider Reihen mit [mm]z^2[/mm] beginnen.
>
> Besten Dank schon mal.
Gruß
MathePower
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| Aufgabe | Dummer Fehler in der Aufgabenstellung
Produkt von zwei absolut konvergenten Reihen (für [mm] \left| z \right| [/mm] < [mm] 2\pi)
[/mm]
[mm] \left( \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{B_k}{k!} z^{k} \right) \* \left( \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k!} z^{k} \right) [/mm] |
Konvergenzradius (für [mm] \left| z \right| [/mm] < [mm] 2\pi) [/mm] wurde bestimmt. </task>
Nun meine Frage:
Ist das folgende Cauchy-Produkt so korrekt? Komme mit den Indizes hin und wieder ein wenig durcheinander.
[mm] \left( \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{B_k}{k!} z^{k} \right) \* \left( \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k!} z^{k} \right)
[/mm]
=
[mm] \left( \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{B_k}{k!} z^{k} \right) \* \left( \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{(k+1)!} z^{(k+1)} \right)
[/mm]
=
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \left( \summe_{i=0}^{k} \bruch{B_i}{(k-(i+1))! i!} z^{(k-(i+1)+i)} \right)
[/mm]
=
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \left( \summe_{i=0}^{k} \bruch{B_i}{(k-(i+1))! i!} z^{(k-1)} \right)
[/mm]
=
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \left( \summe_{i=0}^{k-1} \bruch{B_i}{(k-i)! i!} z^{k} \right)
[/mm]
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Zu der Antwort, raffe ich jetzt mal gar nicht.
Wieso sollten beide Reiehn bei Index 1 anfangen?????
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:17 Di 05.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Dummer Fehler in der Aufgabenstellung
>
> Produkt von zwei absolut konvergenten Reihen (für [mm]\left| z \right|[/mm]
> < [mm]2\pi)[/mm]
>
> [mm]\left( \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{B_k}{k!} z^{k} \right) \* \left( \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k!} z^{k} \right)[/mm]
>
> Konvergenzradius (für [mm]\left| z \right|[/mm] < [mm]2\pi)[/mm] wurde
> bestimmt.
Der Konvergenzradius [mm] $2\pi$ [/mm] ist sicherlich der der linken Reihe, denn $ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k!} z^{k}$ [/mm] hat den Potenzradius [mm] $\infty$.
[/mm]
> Nun meine Frage:
>
> Ist das folgende Cauchy-Produkt so korrekt? Komme mit den
> Indizes hin und wieder ein wenig durcheinander.
>
> [mm]\left( \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{B_k}{k!} z^{k} \right) \* \left( \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k!} z^{k} \right)[/mm]
>
> =
> [mm]\left( \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{B_k}{k!} z^{k} \right) \* \left( \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{(k+1)!} z^{(k+1)} \right)[/mm]
>
> =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \left( \summe_{i=0}^{k} \bruch{B_i}{(k-(i+1))! i!} z^{(k-(i+1)+i)} \right)[/mm]
Hier taucht ein Fehler auf. Und zwar ist ja:
[mm] $\left(\sum_{k=0}^\infty a_k\right) *\sum_{k=0}^\infty b_k=\sum_{k=0}^\infty \sum_{i=0}^k a_i b_{k-i}$
[/mm]
Oben hatten wir [mm] $a_k=\frac{B_k}{k!}z^{k}$ [/mm] und [mm] $b_k=\frac{z^{k+1}}{(k+1)!}$, [/mm] also ist das Cauchyprodukt:
[mm] $\sum_{k=0}^\infty \sum_{i=0}^k \frac{B_i z^i}{i!} \frac{z^{k-i+1}}{(k-i+1)!}=\sum_{k=0}^\infty \sum_{i=0}^k \frac{B_i z^{k+1}}{i!*(k-i+1)!}$
[/mm]
Den Rest habe ich dann nicht mehr kontrolliert, vll. machst Du diesen Fehler an anderer Stelle wieder weg, jedenfalls folgt dann als Ergebnis:
[mm] $=\sum_{k=1}^\infty \sum_{i=0}^{k-1} \frac{B_i z^{k}}{i!*(k-i)!}$
[/mm]
Das hattest Du - glaube ich - auch, aber Du hast vermutlich den Fehler oben an anderer Stelle nochmal "kompensiert".
P.S.:
Wenn Du mal genau guckst:
Bei Dir musst Du nur jedes $k-(i+1)$ (was übrigens $=k-i-1$ wäre) durch $k-(i-1)$ bzw. $k+1-i$ ersetzen, alles andere kann man eigentlich so stehen lassen.
Insbesondere ist bei Dir diese Gleichheit:
[mm] $\summe_{k=0}^{\infty} \left( \summe_{i=0}^{k} \bruch{B_i}{(k-(i+1))! i!} z^{(k-1)} \right)=\summe_{k=1}^{\infty} \left( \summe_{i=0}^{k-1} \bruch{B_i}{(k-i)! i!} z^{k} \right)$
[/mm]
falsch, aber korrekt ist:
[mm] $\summe_{k=0}^{\infty} \left( \summe_{i=0}^{k} \bruch{B_i}{(k+1-i))! i!} z^{k+1} \right)=\summe_{k=1}^{\infty} \left( \summe_{i=0}^{k-1} \bruch{B_i}{(k-i)! i!} z^{k} \right)$
[/mm]
Setze ich nämlich $k=m-1$, so ist (beachte: $k=0 [mm] \gdw [/mm] m=1$):
[mm] $\summe_{k=0}^{\infty} \left( \summe_{i=0}^{k} \bruch{B_i}{(k+1-i))! i!} z^{k+1} \right)=\summe_{m=1}^{\infty} \left( \summe_{i=0}^{m-1} \bruch{B_i}{(m-1+1-i)! i!} z^{m-1+1} \right)=\summe_{m=1}^{\infty} \left( \summe_{i=0}^{m-1} \bruch{B_i}{(m-i)! i!} z^{m} \right)$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Habe mich offensichtlich bei der Übertragung meiner handschriftlichen Lösung hier ins Forum vertippt. - Bzw. Klamerfehler gesetzt.
Danke nochmals.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:34 Di 05.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jaqueline,
ja, kann ja passieren. Ich weiß nicht, ob Du das brauchst, aber bei
[mm] $\summe_{m=1}^{\infty} \left( \summe_{i=0}^{m-1} \bruch{B_i}{(m-i)! i!} z^{m} \right) [/mm] $
kann man natürlich auch noch [mm] $z^m$ [/mm] bei der 2en Summe vorklammern, also
[mm] $=\summe_{m=1}^{\infty} z^{m} \left( \summe_{i=0}^{m-1} \bruch{B_i}{(m-i)! i!} \right) [/mm] $
schreiben. Und je nachdem, was man machen will, kann man vielleicht auch:
[mm] $\frac{1}{i!(m-i)!}=\frac{1}{m!}*{m \choose i}$
[/mm]
benutzen...
Gruß,
Marcel
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Besten dank. Ich soll lediglich mit Hilfe der Reihen [mm] B_0, B_1 [/mm] und [mm] B_2 [/mm] bestimmen.
Wobei nach Voraussetzung
[mm] \left( \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{B_k}{k!} z^{k} \right)
[/mm]
eben gleich der Funktion [mm] \bruch{z}{e^z-1} [/mm] ist.
Umstellen führt dann zu
z = [mm] \left( \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{B_k}{k!} z^{k} \right) \* \left( \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k!} z^{k} \right) [/mm] = Cauchyprodukt
Koeffizientenvergleich bringt dann die Lösung.
Besten Dank nochmal.
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