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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:08 Sa 10.12.2005 | | Autor: | Nette20 |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Mein Analysis-Prof hat in der letzten Stunde folgende Bsp-Aufgabe gerechnet.
Leider verstehe ich nicht so ganz wie er im Verlauf der Rechnung auf "A", "B" und "C" kommt.
Hier die Rechnung:
[mm] \summe_{k=2}^{\infty} (4k^2 [/mm] - 5k + 7) * ( [mm] -\bruch{3}{4})^k [/mm] = ?
Wir wissen, dass (i) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} x^k [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-x} [/mm] ist.
Berechne [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (4k^2 [/mm] - 5k + 7) * ( [mm] -\bruch{3}{4})^k [/mm] und ziehe dann die Summanden für k=0 und k=1 ab.
Nach (i) wissen wir, dass x = - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] 4k^2 [/mm] - 5k + 7 = A [mm] \bruch{(k+2) (k+1)}{2} [/mm] + B (k+1) + C
((Wie kommt er auf diese Gleichung und auf die weiteren Aussagen?))
= A [mm] (\bruch{k^2}{2} [/mm] + [mm] \bruch{3}{2}k [/mm] + 1) + B (k+1) + C
[mm] \bruch{A}{2} [/mm] = 4 [mm] \Rightarrow [/mm] A = 8
[mm] \bruch{3A}{2} [/mm] + B = -5 [mm] \Rightarrow [/mm] 12+B = -5 [mm] \Rightarrow [/mm] B = 17
A + B + C = 7 [mm] \Rightarrow [/mm] C = 16
A [mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] ( [mm] \bruch{k^2}{2} [/mm] + [mm] \bruch{3}{2}k [/mm] + 1 ) + (- [mm] \bruch{1}{2})^k [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1+ \bruch{1}{2})^3} [/mm] * A
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} (4k^2 [/mm] - 5k + 7) * (- [mm] \bruch{1}{2})^k [/mm] = 8* [mm] \bruch{1}{(1+ \bruch{1}{2})^3} [/mm] - 17* [mm] \bruch{1}{(1+ \bruch{1}{2})^2} [/mm] + 16* [mm] \bruch{1}{1+ \bruch{1}{2}}
[/mm]
Ist die Aufgabe hiermit zu Ende oder hat der Prof was vergessen?
Danke für Eure Hilfe!
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Was hier verwirrt, ist, daß du anfangs [mm]\left( - \frac{3}{4} \right)[/mm] und später auf einmal [mm]\left( - \frac{1}{2} \right)[/mm] schreibst. Ich bleibe einmal bei Letzterem.
Die Idee hinter der ganzen Aufgabe ist es, die geometrische Reihe zu differenzieren. Im Folgenden sei [mm]|x|<1[/mm].
[mm]f(x) = \frac{1}{1-x} = \sum_{k=0}^{\infty}~x^k[/mm]
[mm]f'(x) = \frac{1}{(1-x)^2} = \sum_{k=1}^{\infty}~k x^{k-1} = \sum_{k=0}^{\infty}~(k+1) \, x^k[/mm]
[mm]\frac{1}{2} \cdot f''(x) = \frac{1}{(1-x)^3} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{\infty}~k(k+1) x^{k-1} = \sum_{k=0}^{\infty}~\frac{(k+1)(k+2)}{2} \, x^k[/mm]
Und jetzt versucht man, [mm]A,B,C[/mm] so zu bestimmen, daß
[mm]4k^2 - 5k + 7 = A \cdot \frac{(k+1)(k+2)}{2} + B \cdot (k+1) + C[/mm] für alle [mm]k[/mm]
gilt (das geschieht durch Koeffizientenvergleich bei den Potenzen von [mm]k[/mm]), um diese drei Formeln anwenden zu können. Später wird dann nur [mm]x = - \frac{1}{2}[/mm] spezialisiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:13 So 11.12.2005 | | Autor: | Nette20 |
Hallo!
Danke für Deine Antwort.
[mm] (-\bruch{1}{2}) [/mm] ist natürlich richtig. Entschuldigung.
Wie kommst Du bei f´´(x) auf [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Danke!
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[mm]f'(x) = \frac{1}{(1-x)^2} = (1-x)^{-2}[/mm]
Kettenregel (die innere Funktion hat die Ableitung [mm]-1[/mm]):
[mm]f''(x) = -2 \cdot (1-x)^{-3} \cdot (-1) = \frac{2}{(1-x)^3}[/mm]
[mm]\frac{1}{2} f''(x) = \frac{1}{(1-x)^3}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:04 So 11.12.2005 | | Autor: | Nette20 |
Hi!
Stimmt ja! Darauf hätte ich auch selbst kommen können! :o)
Danke!
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