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| Aufgabe | Berechnen Sie folgende Integrale mit Hilfe der Cauchy-Integralformel
a) [mm]\int_{\gamma} \bruch{e^z}{z^2(z^2-4)} dz [/mm] entlang der Einheitskreisscheibe |
Hallo,
ich hab mal wieder ein Problem mit Funktionentheorie....ich weiß, daß ich das Integral so zerlegen muß, das ich eine auf [mm]B_1(0)[/mm] holomorphe Funktion [mm]f(z)[/mm] bekomme, um dann das Integral in der Form [mm]\bruch{1}{2\pi i}f(z)=\int_{\gamma} \bruch {f(\zeta)}{\zeta-z}, d\zeta[/mm] schreiben zu können. 2 und -2 liegen nicht im Inneren meines Integrationsweges, das ist ja schon einmal ganz gut. Wenn da jetzt im Nenner ein [mm]z[/mm] statt einem [mm]z^2[/mm] stünde käme ich mit [mm]f(z)=\bruch{e^z}{z^2-4}[/mm] wunderbar zurecht. Wahrscheinlich läßt sich das Problem ganz einfach lösen, aber ich komme leider nicht darauf. partialbruchzerlegung hab ich probiert - klappt nicht. Weiß vielleicht jemand weiter?
Grüße couldbeworse
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> Berechnen Sie folgende Integrale mit Hilfe der
> Cauchy-Integralformel
> a) [mm]\int_{\gamma} \bruch{e^z}{z^2(z^2-4)} dz[/mm] entlang der
> Einheitskreisscheibe
>
> Hallo,
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> ich hab mal wieder ein Problem mit Funktionentheorie....ich
> weiß, daß ich das Integral so zerlegen muß, das ich eine
> auf [mm]B_1(0)[/mm] holomorphe Funktion [mm]f(z)[/mm] bekomme, um dann das
> Integral in der Form [mm]\bruch{1}{2\pi i}f(z)=\int_{\gamma} \bruch {f(\zeta)}{\zeta-z}, d\zeta[/mm]
Wenn du es so rum schreibst, muss das [mm] 2\pi [/mm] i im Zähler stehen.
Zusätzlich gilt noch für die n-te Ableitung
[mm] f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{\gamma} \bruch {f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}d\zeta
[/mm]
Damit lässt sich die Aufgabe lösen.
> schreiben zu können. 2 und -2 liegen nicht im Inneren
> meines Integrationsweges, das ist ja schon einmal ganz gut.
> Wenn da jetzt im Nenner ein [mm]z[/mm] statt einem [mm]z^2[/mm] stünde käme
> ich mit [mm]f(z)=\bruch{e^z}{z^2-4}[/mm] wunderbar zurecht.
> Wahrscheinlich läßt sich das Problem ganz einfach lösen,
> aber ich komme leider nicht darauf. partialbruchzerlegung
> hab ich probiert - klappt nicht. Weiß vielleicht jemand
> weiter?
>
> Grüße couldbeworse
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Hallo!
> Zusätzlich gilt noch für die n-te Ableitung
> [mm]f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{\gamma} \bruch {f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}d\zeta[/mm]
>
Aha, dann habe ich [mm]f'(0)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma} \bruch {\frac{e^z}{(z^2-4)}}{(z-0)^{2}}dz[/mm] mit [mm]f(z)=\frac{e^z}{(z^2-4)}[/mm] holomorph auf der Einheitskreisscheibe. Also [mm]f'(z)=\frac{e^z(z^2-4)-e^z2z}{(z^2-4)^2}[/mm] und damit [mm]\int_{\gamma}\frac{e^z}{z^2(z^2-4)}dz=2\pi i f'(0)=\frac{-\pi i}{2}[/mm]. Stimmt das so?
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> Hallo!
> > Zusätzlich gilt noch für die n-te Ableitung
> > [mm]f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{\gamma} \bruch {f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}d\zeta[/mm]
>
> >
> Aha, dann habe ich [mm]f'(0)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma} \bruch {\frac{e^z}{(z^2-4)}}{(z-0)^{2}}dz[/mm]
> mit [mm]f(z)=\frac{e^z}{(z^2-4)}[/mm] holomorph auf der
> Einheitskreisscheibe. Also
> [mm]f'(z)=\frac{e^z(z^2-4)-e^z2z}{(z^2-4)^2}[/mm] und damit
> [mm]\int_{\gamma}\frac{e^z}{z^2(z^2-4)}dz=2\pi i f'(0)=\frac{-\pi i}{2}[/mm].
> Stimmt das so?
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ja, sieht gut aus
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