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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:54 Mi 14.05.2008 | | Autor: | tinakru |
| Aufgabe | Sei 0<q<1, [mm] n_0 [/mm] Element [mm] N_1 [/mm] und [mm] (a_n)_n [/mm] eine Folge in den reelen Zahlen.
a, Es gelte [mm] |a_{n+1} [/mm] - [mm] a_n [/mm] | <= q * | [mm] a_n [/mm] - [mm] a_{n-1} [/mm] für alle n >= [mm] n_0.
[/mm]
Zeigen sie dass dann [mm] (a_n)_n [/mm] eine Cauchy-Folge ist.
b, Es gelte [mm] |a_{n+1} [/mm] - [mm] a_n| [/mm] <= [mm] |a_n [/mm] - [mm] a_{n-1} [/mm] | für alle n >= [mm] n_0. [/mm] Zeigen sie, dass daraus nicht notwendig folgt, dass [mm] (a_n)_n [/mm] Cauchy-Folge ist.
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Ich weiß leider gar nicht so recht wie ich da anfangen soll.
Ich hab schon mal versucht (bei a) das q reinzumultiplizieren, aber das bringt mich auch nicht so recht weiter.
Bräuchte mal eine hilfreichen Ansatz.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei 0<q<1, [mm]n_0[/mm] Element [mm]N_1[/mm] und [mm](a_n)_n[/mm] eine Folge in den
> reelen Zahlen.
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> a, Es gelte [mm]|a_{n+1}[/mm] - [mm]a_n[/mm] | <= q * | [mm]a_n[/mm] - [mm]a_{n-1}[/mm] für
> alle n >= [mm]n_0.[/mm]
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> Zeigen sie dass dann [mm](a_n)_n[/mm] eine Cauchy-Folge ist.
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> b, Es gelte [mm]|a_{n+1}[/mm] - [mm]a_n|[/mm] <= [mm]|a_n[/mm] - [mm]a_{n-1}[/mm] | für alle n
> >= [mm]n_0.[/mm] Zeigen sie, dass daraus nicht notwendig folgt, dass
> [mm](a_n)_n[/mm] Cauchy-Folge ist.
>
> Ich weiß leider gar nicht so recht wie ich da anfangen
> soll.
> Ich hab schon mal versucht (bei a) das q
> reinzumultiplizieren, aber das bringt mich auch nicht so
> recht weiter.
>
> Bräuchte mal eine hilfreichen Ansatz.
Zu a) Du musst mit Hilfe einer wiederholten Anwendung der Dreiecksungleichung zeigen, dass die Folge der [mm] $a_n$ [/mm] die Cauchy-Bedingung erfüllt. Sei etwa [mm] $n>m\geq n_0$, [/mm] dann hat man
[mm]|a_{n+1}-a_n|\leq q|a_n-a_{n-1}|\leq q^2|a_{n-1}-a_{n-2}|\leq\cdots \leq q^{n-n_0}|a_{n_0+1}-a_{n_0}|[/mm]
und deshalb ist (Dreiecksungleichung)
[mm]|a_n-a_m|\leq |a_n-a_{n-1}|+\cdots+|a_{m+1}-a_m|\leq \red{(q^{n-1-n_0}+\cdots q^{m-n_0})}\cdot\blue{|a_{n_0+1}-a_{n_0}|}[/mm]
Der rot markierte Faktor ist jedenfalls nicht grösser als der Wert der konvergenten geometrischen Reihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q}$, [/mm] der blau markierte Faktor ist [mm] $\leq q^{n_0}|a_1-a_0|$ [/mm] geht also für [mm] $n_0\rightarrow \infty$ [/mm] gegen $0$. Für vorgegebenes [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] kann man also ein [mm] $n_0$ [/mm] finden, so dass für alle [mm] $n,m\geq n_0$ [/mm] die Differenz [mm] $|a_n-a_m|<\varepsilon$ [/mm] ist.
Zu b) Die Voraussetzung [mm]|a_{n+1}- a_n| \leq |a_n - a_{n-1}|[/mm] für alle [mm] $n\geq n_0$ [/mm] ist natürlich viel zu schwach um Konvergenz der Folge der [mm] $a_n$ [/mm] zu erzwingen (und eine nicht-konvergente Folge kann in [mm] $\IR$ [/mm] auch keine Cauchy-Folge sein). Beweis: diese Voraussetzung ist auch erfüllt, wenn [mm] $|a_{n+1}-a_n|$ [/mm] z.B. konstant $>0$ ist; etwa im Falle [mm] $a_{n+1}=a_n+1$.
[/mm]
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