Cauchy-Folge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Do 08.12.2005 | | Autor: | Nescio |
Hallo,
ich komme bei der folgenden Aufgabe nicht weiter.
Gilt für die reelle Zahlenfolge [mm] (a_{n})_{n} [/mm] stets [mm] |a_{n+2} [/mm] - [mm] a_{n+1}| \le \bruch{1}{2} |a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n}|, [/mm] so ist sie eine Cauchy-Folge.
Etwas ist eine Cauchy-Folge, wenn gilt: [mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 existiert N [mm] \in \IN, [/mm] so dass [mm] |a_{n} [/mm] - [mm] a_{m}| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Ich weiß leider nicht, wie ich den Satz da oben zeigen soll. Ich hoffe, mir kann jemand helfen.
Danke und liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:01 Fr 09.12.2005 | | Autor: | R4ph43l |
Versuch doch mal oE für m>n $ | [mm] a_{m} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] | $ durch die Dreiecksungleichung aufzuspalten in $ | [mm] a_{m} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] | [mm] \le [/mm] | [mm] a_{m} [/mm] - [mm] a_{m-1} [/mm] | + | [mm] a_{m-1} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] | [mm] \le \bruch{1}{2} [/mm] | [mm] a_{m-1} [/mm] - [mm] a_{m-2} [/mm] | + | [mm] a_{m-1} [/mm] - [mm] a_{m-2} [/mm] | + | [mm] a_{m-2} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] | $ und wiederhole dies bis du auf ein Vielfaches von $ | [mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] | $ kommst, welches du wieder mit der Angabe in eine Potenz von [mm] \bruch{1}{2} [/mm] mal $ | [mm] a_{2} [/mm] - [mm] a_{1} [/mm] | =: c $ o.Ä. zerlegst. Es müsste eine Summe von Potenzen von [mm] \bruch{1}{2} [/mm] als Faktor sein (in etwa $ [mm] \summe_{i=1}^{m-1}\bruch{1}{2}^i \cdot{} \bruch{1}{2}^{n-1}\cdot{c} [/mm] $) und diese kannst du ggf. wieder abschätzen so dass nur noch n vorkommt. Dies setzt du jetzt gleich [mm] \varepsilon [/mm] und löst nach n auf, so dass ein $ n > [mm] T(\varepsilon) [/mm] = N $. Damit sollte dann für alle m,n > N die Bedingung $ | [mm] a_{m} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] | < [mm] \varepsilon [/mm] $ gelten.
Hoffe das ist eine Hilfe.
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