Casus Irreducibillis < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 00:52 Mo 28.02.2005 | | Autor: | neo2k |
Hi liebe Gemeinde :)
Ich sitze gerade an eine Ausarbeitung zum Thema :P na kann man es vielleicht raten? - Genau die Gleichung dritten Grades :) Ich habe zwei Ansätze, kann aber nicht sagen, welcher "richtiger" bzw. besser ist.
[mm] \section{Casus Irreducibillis}
[/mm]
[mm] \begin{eqnarray}
Die \ Ausgangsbasis: \quad y_{1} = \sqrt[3]{ - \frac{q}{2} + \sqrt{
(\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3 }} + \sqrt[3]{ - \frac{q}{2} -
\sqrt{ (\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3 }} \nonumber
\end{eqnarray}
[/mm]
Wenn der Radikand von der Quadratwurzel negativ ist, so kann man mit
Sicherheit festlegen, dass p < 0 und [mm] -\frac{q^2}{4} -\frac{p^3}{27} [/mm] > 0.
In diesem Fall, so wurde bewiesen, sind alle
drei Wurzeln reell. Formt man nun die dritte Wurzel um, so erhält
man:
[mm] \begin{eqnarray}
\sqrt[3]{ - \frac{q}{2} + \sqrt{ (\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3
}}= \sqrt[3]{ - \frac{q}{2} + \sqrt{ (-1)*-(\frac{q}{2})^2 -
(\frac{p}{3})^3 }}= \sqrt[3]{ - \frac{q}{2} +
i*\sqrt{-(\frac{q}{2})^2 - (\frac{p}{3})^3 }} \nonumber
\end{eqnarray}
[/mm]
[mm] \textbf{oder}\\
[/mm]
Wenn der Radikand von der Quadratwurzel negativ ist, so kann man mit
Sicherheit festlegen, dass $p < 0 $ und $ [mm] -\frac{q^2}{4} [/mm] -
[mm] \frac{p^3}{27} [/mm] > 0$. In diesem Fall, so wurde bewiesen, sind alle
drei Wurzeln reell. Um mit diesem Fall rechnerisch Arbeiten zu
können, muss man ihn zunächst umbauen. Man definiert $p = -p'$
[mm] \footnote{Man beachte dabei, dass p' positiv ist.}, [/mm] analog entsteht
dazu die reduzierte Form: [mm] $y^3 [/mm] - p'y +q = 0$. Somit gilt sicherlich
$ [mm] \sqrt{\frac{p'^3}{27}-\frac{q^2}{4}} [/mm] >0$; formt man nun die dritte
Wurzel um, so erhält man für [mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $u_1$:
[/mm]
[mm] \begin{eqnarray}
\sqrt[3]{ - \frac{q}{2} \pm \sqrt{ -(\frac{p'}{3})^3 +
(\frac{q}{2})^2 }}= \sqrt[3]{ - \frac{q}{2} \pm \sqrt{
(-1)*[(\frac{p'}{3})^3 - (\frac{p}{2})^2 ]}}= \sqrt[3]{ -
\frac{q}{2} \pm i*\sqrt{(\frac{p'}{3})^3 - (\frac{p}{2})^2 }}
\nonumber
\end{eqnarray}\\
[/mm]
ZWEITER TEIL
Diese komplexen Lösungen kann man ebenfalls in trigonometrischer
Form notieren:
[mm] \begin{eqnarray}\sqrt[3]{ - \frac{q}{2} \pm
i*\sqrt{-(\frac{q}{2})^2 - (\frac{p}{3})^3 }}= r(\cos \varphi \pm i
\sin \varphi ) \\
r= \sqrt{ \frac{-p^3}{27}}; \quad \cos \varphi= - \frac{p}{2} :
\sqrt{\frac{-p^3}{27}}; \quad \sin \varphi=\sqrt{\frac{-p^3}{27} -
\frac{q^2}{4} }:\sqrt{\frac{-p^3}{27}} \nonumber
\end{eqnarray}
[/mm]
[mm] \textbf{oder}\\
[/mm]
[mm] \begin{eqnarray}\sqrt[3]{ - \frac{q}{2} \pm
i*\sqrt{(\frac{p'}{3})^3 - (\frac{q}{2})^2 }}= r(\cos \varphi \pm i
\sin \varphi ) \\
r= \sqrt{ \frac{p'^3}{27}}; \quad \cos \varphi= - \frac{p}{2} :
\sqrt{\frac{p'^3}{27}}; \quad \sin \varphi=\sqrt{\frac{p'^3}{27} -
\frac{q^2}{4} }:\sqrt{\frac{p'^3}{27}} \nonumber
\end{eqnarray}
[/mm]
-----------
Nach dem Satz Lehrsatz von Moivr erhält man für [mm] $u_1$ [/mm] und [mm] $v_1$ [/mm] :
[mm] \begin{eqnarray}
\sqrt[3]{r}(\cos \frac{\varphi}{3} \pm i \sin \frac{\varphi}3)
\nonumber
\end{eqnarray}
[/mm]
Setzt man dies nun wieder in die Gleichung [mm] $y_1 [/mm] = [mm] u_1 [/mm] + [mm] v_1$ [/mm] ein, so
ergibt sich :
[mm] \begin{eqnarray}
y_1 = u_1 + v_1 =\sqrt[3]{r}[\cos \frac{\varphi}{3} + i \sin
\frac{\varphi}3+\cos \frac{\varphi}{3}- i \sin \frac{\varphi}3] =
2\sqrt[3]{r} \cos \frac{\varphi}{3}
\end{eqnarray}
[/mm]
Moivr legte ferner offen, dass hier zwei weitere reelle Lösungen
existieren:
[mm] \begin{eqnarray}
y_2= 2\sqrt[3]{r} \cos ( \frac{\varphi}{3}+120°)\nonumber \\
y_3= 2\sqrt[3]{r} \cos ( \frac{\varphi}{3}+240°)
\end{eqnarray}
[/mm]
Diese begründen sich in der Periode der Kosinusfunktion, weswegen
[mm] $\varphi$ [/mm] auch den Wert [mm] $\varphi [/mm] + 360°$ oder [mm] $\varphi [/mm] + 720°$
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Ich hoffe ihr könnt mir dazu einen Hinweis geben.
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