Casus Irreducibilis ? < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 Mo 13.11.2006 | | Autor: | gore |
| Aufgabe | f: [mm] \IR \to \IR [/mm] mit f(x):= [mm] x^3-p*x-q [/mm] (p, q [mm] \in \IR)
[/mm]
Schließen Sie, dass die Funktion f genau dann drei verschiedene reelle Nullstellen hat, wenn [mm] (q/2)^2-(p/3)^3 [/mm] < 0. |
Hallo,
ich hab da meine Probleme mit der Aufgabe :(
Man musste im Vorfeld die Extrema bestimmen, die habe ich:
Maximum ( [mm] -\wurzel{p/3} [/mm] , [mm] 2/3*p*\wurzel{p/3}-q),
[/mm]
Minimum ( [mm] \wurzel{p/3} [/mm] , [mm] -2/3*p*\wurzel{p/3}-q) [/mm] mit p>0.
So, dann war nach einer zusätzlichen Bedingung gefragt, dass das lokale Maximum positiv ist und das lokale Minimum negativ. Dafür muss das gelten:
beim Maximum muss der y-Wert: [mm] 2/3*p*\wurzel{p/3}-q [/mm] >0 sein,
beim Minimum muss der y-Wert: [mm] -2/3*p*\wurzel{p/3}-q [/mm] <0 sein.
So und danach soll man eben schließen, dass f genau dann drei reelle Nullstellen hat, wenn [mm] (q/2)^2-(p/3)^3 [/mm] < 0 gilt. Aber wie schließe ich darauf??
Ich weiß, dass es sich hierbei um den Casus irreducibilis handelt und das dieser bei der Cardanoformel eine dritte Wurzel aus einer negativen Zahl bewirkt, obwohl es reelle Lösungen gibt, aber ich weiß nicht, wie ich aus den Informationen die ich bisher errechnet habe darauf schließen(!) soll, dass gerade bei [mm] (q/2)^2-(p/3)^3 [/mm] < 0 das erfüllt ist.
Kann mir jemand einen Tipp geben oder mir zweigen wo ich falsch denke? :(
Danke
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:45 Mo 13.11.2006 | | Autor: | moudi |
> f: [mm]\IR \to \IR[/mm] mit f(x):= [mm]x^3-p*x-q[/mm] (p, q [mm]\in \IR)[/mm]
>
> Schließen Sie, dass die Funktion f genau dann drei
> verschiedene reelle Nullstellen hat, wenn [mm](q/2)^2-(p/3)^3[/mm]
> 0.
> Hallo,
Hallo gore
> ich hab da meine Probleme mit der Aufgabe :(
> Man musste im Vorfeld die Extrema bestimmen, die habe
> ich:
> Maximum ( [mm]-\wurzel{p/3}[/mm] , [mm]2/3*p*\wurzel{p/3}-q),[/mm]
> Minimum ( [mm]\wurzel{p/3}[/mm] , [mm]-2/3*p*\wurzel{p/3}-q)[/mm] mit p>0.
> So, dann war nach einer zusätzlichen Bedingung gefragt,
> dass das lokale Maximum positiv ist und das lokale Minimum
> negativ. Dafür muss das gelten:
> beim Maximum muss der y-Wert: [mm]2/3*p*\wurzel{p/3}-q[/mm] >0
> sein,
d.h. [mm] $q/2
> beim Minimum muss der y-Wert: [mm]-2/3*p*\wurzel{p/3}-q[/mm] <0
d.h. [mm] $q/2>-p/3\sqrt{p/3}=-(p/3)^{3/2}$
[/mm]
Beides zusammen ergibt:
[mm] $-(p/3)^{3/2}
Das ist aber äquivalent zu [mm] $(q/2)^2<(p/3)^3$.
[/mm]
mfG Moudi
> sein.
> So und danach soll man eben schließen, dass f genau dann
> drei reelle Nullstellen hat, wenn [mm](q/2)^2-(p/3)^3[/mm] < 0 gilt.
> Aber wie schließe ich darauf??
> Ich weiß, dass es sich hierbei um den Casus irreducibilis
> handelt und das dieser bei der Cardanoformel eine dritte
> Wurzel aus einer negativen Zahl bewirkt, obwohl es reelle
> Lösungen gibt, aber ich weiß nicht, wie ich aus den
> Informationen die ich bisher errechnet habe darauf
> schließen(!) soll, dass gerade bei [mm](q/2)^2-(p/3)^3[/mm] < 0 das
> erfüllt ist.
> Kann mir jemand einen Tipp geben oder mir zweigen wo ich
> falsch denke? :(
> Danke
> LG
>
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