Cantorsche Diskontinuum < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien
[mm] C_{0} [/mm] = [0,1]
[mm] C_{1} [/mm] = [mm] C_{0} \setminus [/mm] ( [mm] \bruch{1}{3} [/mm] , [mm] \bruch{2}{3})
[/mm]
[mm] C_{2} [/mm] = [mm] C_{1} \setminus [/mm] (( [mm] \bruch{1}{9} [/mm] , [mm] \bruch{2}{9}) \cup [/mm] ( [mm] \bruch{7}{9} [/mm] , [mm] \bruch{8}{9}))
[/mm]
etc.,
d.h. für jedes n [mm] \in \IN [/mm] entsteht [mm] C_{n+1} [/mm] aus [mm] C_{n} [/mm] durch weglassen der offenen mittleren Drittel aller [mm] 2^{n} [/mm] Intervalle, deren Vereinigung [mm] C_{n} [/mm] ist. Der Durchschnitt C = [mm] \bigcap_{ }^{n \in \IN} C_{n} [/mm] heißt das Cantor´sche Diskontinuum. Verifizieren Sie die folgenden drei Eigenschaften von C.
(i) C ist kompakt
(ii) das innere von C ist leer
(iii) C ist überabzählbar.
Hinweis zu (iii): Betrachten Sie die Entwicklung einer Zahl aus C zur Basis 3, und benutzen Sie, dass { 0,2 } hoch [mm] \IN [/mm] überabzählbar ist. |
Ich komme mit dieser Aufgabe überhaupt nicht klar. Kann mir jemand helfen? Vielleicht einen Ansatz geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:42 Mo 20.11.2006 | | Autor: | andreas |
hi
kennst du das kriterium für $A [mm] \subset \mathbb{R}^n$ [/mm] ist $A$ kompakt [mm] $\Longleftrightarrow$ [/mm] $A$ beschränkt und abgeschlossen?
was kannst du über den schnitt beliebig vieler abgeschlossener mengen und die abgeschlossenheit der [mm] $C_i$ [/mm] sagen?
mach dir damit mal gedanken über (i).
grüße
andreas
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