C:Konjungiert Komplex/Realteil < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:35 Mo 12.07.2010 | | Autor: | Lyrn |
Hallo,
ich brauche Hilfe beim Verständnis von dem folgenden Beweisen:
1.
Das charakteristische Polynom einer selbstjungierten linearen Abbildung [mm] \phi [/mm] besitzt lauter reelle Nullsten, d.h. alle Eigenwerte von [mm] \phi [/mm] sind reell.
Beweis:
Sei c Nullstelle des charakteristischen Polynoms und a Eigenvektor zum Eigenwert c, also [mm]\phi(a)=c*a[/mm]. Dann gilt:
[mm]c(a*a)=(c*a)*a=\phi(a)*a=a*\phi(a)=a*(c*a)=\underbrace{\overline{c}(a*a)}_{=warum?}[/mm]
Also was genau bedeutet [mm] \overline{c} [/mm] und warum ist dann [mm]a*(c*a)=\overline{c}(a*a)[/mm]
2.
Für Vektoren aus einem Prähilbertraum gilt:
[mm]|x+y|\le|x|+|y|[/mm]
Beweis:
[mm]|x+y|^{2}=(x+y)(x+y)[/mm]
[mm]=x*x+x*y+\overline{x*y}+y*y[/mm]
[mm]=|x|^{2}+[/mm][mm]2Re x*y[/mm][mm]+|y|^{2}\le|x|^{2}+[/mm][mm]2|x*y|[/mm][mm]+|y|^{2}[/mm]
[mm]\le|x|^{2}+2*|x|*|y|+|y|^{2}[/mm]
[mm]=(|x||y|)^{2}[/mm]
Warum gilt das rot markierte?
Wie man sieht habe ich noch Probleme bei den der Komplexen Zahlen, hoffe jemand kann mir helfen.
lg!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:14 Mo 12.07.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
> ich brauche Hilfe beim Verständnis von dem folgenden
> Beweisen:
>
> 1.
>
> Das charakteristische Polynom einer selbstjungierten
> linearen Abbildung [mm]\phi[/mm] besitzt lauter reelle Nullsten,
> d.h. alle Eigenwerte von [mm]\phi[/mm] sind reell.
>
> Beweis:
> Sei c Nullstelle des charakteristischen Polynoms und a
> Eigenvektor zum Eigenwert c, also [mm]\phi(a)=c*a[/mm]. Dann gilt:
>
> [mm]c(a*a)=(c*a)*a=\phi(a)*a=a*\phi(a)=a*(c*a)=\underbrace{\overline{c}(a*a)}_{=warum?}[/mm]
>
> Also was genau bedeutet [mm]\overline{c}[/mm] und warum ist dann
> [mm]a*(c*a)=\overline{c}(a*a)[/mm]
>
> 2.
>
> Für Vektoren aus einem Prähilbertraum gilt:
> [mm]|x+y|\le|x|+|y|[/mm]
>
> Beweis:
> [mm]|x+y|^{2}=(x+y)(x+y)[/mm]
> [mm]=x*x+x*y+\overline{x*y}+y*y[/mm]
> [mm]=|x|^{2}+[/mm][mm]2Re x*y[/mm][mm]+|y|^{2}\le|x|^{2}+[/mm][mm]2|x*y|[/mm][mm]+|y|^{2}[/mm]
>
> [mm]\le|x|^{2}+2*|x|*|y|+|y|^{2}[/mm]
> [mm]=(|x||y|)^{2}[/mm]
>
> Warum gilt das rot markierte?
Hallo,
eine komplexe Zahl w und die dazu konjugiert komplexe Zahl [mm] \overline{w} [/mm] haben den gleichen Realteil, aber entgegengesetzte Imaginärteile.
Aus w=a+bi folgt also [mm] \overline{w}=a-bi, [/mm] und die Summe [mm] w+\overline{w} [/mm] ist somit 2*a+0*bi, also einfach 2a bzw 2*Re(w).
Gruß Abakus
>
> Wie man sieht habe ich noch Probleme bei den der Komplexen
> Zahlen, hoffe jemand kann mir helfen.
>
> lg!
|
|
|
|
