Bsp Mannigfaltigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:10 Mi 29.04.2009 | | Autor: | Beppe |
Ich weiß, dass ein Kreis im [mm]R^2[/mm] eine glatte Untermannigfaltigkeit ist. Gilt das auch für ein offenes Kreisbogenstück? Kann ich das so formulieren?
[mm]S=\left\{(x_1,x_2)| (x_1-s_1)^2+(x_2-s_2)^2 -1=0 \wedge a < x_1 < b \wedge c < x_2 < d\right\}[/mm]
[mm](s_1, s_2)[/mm] ist der Kreismittelpunkt und (a,c) (b,d) bzw. (a, d) (b, c) sind die jeweiligen Bogenenden (eindeutig gegeben). Ist es auch noch eine Mannigfaltigkeit, wenn ich die Ungleichheiten durch Kleinergleichs ersetze?
Danke schon mal für die Hilfe. Und:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi,
> Ich weiß, dass ein Kreis im [mm]R^2[/mm] eine glatte
> Untermannigfaltigkeit ist. Gilt das auch für ein offenes
> Kreisbogenstück? Kann ich das so formulieren?
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> [mm]S=\left\{(x_1,x_2)| (x_1-s_1)^2+(x_2-s_2)^2 -1=0 \wedge a < x_1 < b \wedge c < x_2 < d\right\}[/mm]
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> [mm](s_1, s_2)[/mm] ist der Kreismittelpunkt und (a,c) (b,d) bzw.
> (a, d) (b, c) sind die jeweiligen Bogenenden (eindeutig
> gegeben). Ist es auch noch eine Mannigfaltigkeit, wenn ich
> die Ungleichheiten durch Kleinergleichs ersetze?
>
so, wie du es geschrieben hast, geht es nicht. Nimm beispielsweise den oberen offenen halbkreis: du braeuchtest dann eine mischung aus '<' und [mm] '$\le$' [/mm] (fuer $d$).
Eleganter liesse sich das mit polarkoordinaten definieren, dann muss die winkelkoordinate [mm] $\phi$ [/mm] einfach ueber ein offenes intervall laufen.
gruss
matthias
> Danke schon mal für die Hilfe. Und:
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:58 Do 30.04.2009 | | Autor: | Beppe |
Hallo Matthias,
Was genau geht nicht, dass es eine Mannigfaltigkeit ist, oder dass es mit [mm]\le[/mm] keine mehr ist? Denn den offenen oberen Halbkreis kann ich doch mit < definieren, dann läuft (bei einem Mittelpunkt in (0,0)) eben [mm]-1 < x_1 < 1[/mm] und [mm][mm] 0
Polarkoordinaten kann ich beim übergeordneten Problem leider nicht sinnvoll verwenden.
Danke,
Beppe
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Hi Beppe,
> Hallo Matthias,
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> Was genau geht nicht, dass es eine Mannigfaltigkeit ist,
> oder dass es mit [mm]\le[/mm] keine mehr ist? Denn den offenen
> oberen Halbkreis kann ich doch mit < definieren, dann läuft
> (bei einem Mittelpunkt in (0,0)) eben [mm]-1 < x_1 < 1[/mm] und
> [mm][mm]0
OK, jetzt verstehe ich wie du das meinst. Das sollte gehen, ja. Mannigfaltigkeiten im klassischen sinne sind denke ich immer offen. Andernfalls spricht man von mannigfaltigkeiten mit rand.
gruss
matthias
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]Polarkoordinaten kann ich beim übergeordneten Problem leider nicht sinnvoll verwenden.[/mm][/mm]
> [mm][mm] [/mm][/mm]
> [mm][mm]Danke,[/mm][/mm]
> [mm][mm] Beppe [/mm][/mm]
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