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| Aufgabe | | Wie komme ich von [mm] \bruch{(n+1)^2(n+2)^2}{4} [/mm] + [mm] (n+1)^3 [/mm] zu [mm] \bruch{n^2(n+1)^2}{4} [/mm] ? |
Es wäre schön, wenn mir jemand erklären kann, wie ich dabei vorzugehen habe.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 So 09.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo namia-thalia!
Erweitere den 2. Bruch mit 4 und schreibe alles auf einen Bruch.
Anschließend im Zähler den Term [mm] $(n+1)^2$ [/mm] ausklammern und in der entstehenden Klammer zusammenfassen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 So 09.11.2008 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, beachte aber, es muß "minus" in deiner Aufgabe stehen, Steffi
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Danke für die beiden Antworten.
Also ich habe nun dort stehen: $ [mm] \bruch{(n+1)^2(n+2)^2+4*(n+1)^3}{4} [/mm] $
Klammer ich [mm] (n+1)^2 [/mm] so aus: $ [mm] \bruch{(n+1)^2[(n+2)^2+4(n+1)]}{4} [/mm] $ ?
Und wie fasse ich dann die zweite Klammer zusammen?
Ich habe dort nun stehen: [mm] n^2+4n+4+4n+4, [/mm] ist das so richtig? Wohl eher nicht, denn da müsste wirklich ein negatives Zeichen irgendwo hin, aber woher soll das plötzlich kommen?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 So 09.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo naima-thalia!
Wie Steffi schon schrieb. Es gilt:
[mm] $$\bruch{(n+1)^2(n+2)^2}{4} [/mm] \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] (n+1)^3 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n^2(n+1)^2}{4}$$
[/mm]
Von daher musst Du uns schon die vollständige (und ursprüngliche) Aufgabenstellung verraten.
Gruß
Loddar
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| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=1}^{n}*k^3= [/mm] $ [mm] \bruch{n^2(n+1)^2}{4} [/mm] $ |
Hi!
Die Aufgabe ist der Nachweis einer vollständigen Induktion.
Ich dacht eigentlich, alles richtig gemacht zu haben und mir
fehlte nur diese Umformung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 So 09.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo naima-thalia!
Im Zuge Deines Induktionsschrittes musst Du doch genau entgegen gesetztes zeigen:
[mm] $$\summe_{k=1}^{n+1}k^3 [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \bruch{n^2*(n+1)^2}{4}+(n+1)^3 [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \bruch{(n+1)^2*(n+2)^2}{4}$$
[/mm]
Und damit passt es dann auch genau.
Gruß
Loddar
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Hm, das verstehe ich ehrlich gesagt nicht.
Ich habe als Induktionsschritt folgendes geschrieben:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\cdot{}k^3= \summe_{k=1}^{n}+(n+1)^3=\bruch{(n+1)^2(n+2)^2}{4} +(n+1)^3
[/mm]
Geht das denn nicht auch so?
Falls nicht, dann habe ich das Prinzip wohl doch nicht ganz verstanden.
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Hallo,
du hast die Summe bis zum n. Glied, die laut Induktionsvoraussetzung [mm] \bruch{n^{2}*(n+1)^{2}}{4} [/mm] ist, jetzt betrachten wir es für den Nachfolger, müssen also noch das (n+1) -te Glied addieren, was gebildet wird durch [mm] (n+1)^{3}
[/mm]
[mm] \bruch{n^{2}*(n+1)^{2}}{4}+(n+1)^{3}
[/mm]
[mm] \bruch{(n+1)^{2}*(n+2)^{2}}{4} [/mm] wir haben n um 1 erhöht, also n+1 und wir haben (n+1) um 1 erhöht, also (n+2)
jetzt ist die Gleichheit zu zeigen:
[mm] \bruch{n^{2}*(n+1)^{2}}{4}+(n+1)^{3}=\bruch{(n+1)^{2}*(n+2)^{2}}{4} [/mm]
- erweitere [mm] (n+1)^{3} [/mm] mit 4
- bringe alles auf einen Bruchstrich
- klammere [mm] (n+1)^{2} [/mm] aus
- wende auf [mm] n^{2}+4n+4 [/mm] eine Binomische Formel an
Steffi
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> - klammere [mm](n+1)^{2}[/mm] aus
> - wende auf [mm]n^{2}+4n+4[/mm] eine Binomische Formel an
Bezieht sich das nur auf den linken Teil der Gleichung?
Genau hier komme ich nämlich nicht weiter.
Ok, ich hatte einen Denkfehler. Jetzt ist mir das schon klar.
Nun nochmal zum Verständnis, ist das der Beginn des Induktionsschritts? [mm] \bruch{n^{2}\cdot{}(n+1)^{2}}{4}+(n+1)^{3}=\bruch{(n+1)^{2}\cdot{}(n+2)^{2}}{4}[/mm]
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Hallo, so ist es, wir formen die linke Seite der Gleichung um, und erhalten die rechte Seite der Gleichung, Steffi
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Ach sooo! Oh man, ich stand echt total auf dem Schlauch. Aber jetzt habe ich es begriffen. Ist ja im Prinzip gar nicht so schwer gewesen.
Ich dachte die ganze Zeit, ich muss die ursprüngliche Gleichung zeigen, dabei muss man ja die Induktionsbehauptung beweisen, oder?
Denn dann hätte ich gar nicht fragen brauchen und wär selbst auf die Lösung gekommen.
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