Bruch mit Exponenten < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Do 05.09.2013 | | Autor: | vicky441 |
| Aufgabe | | Erkläre Sie wie die Lösung zustande kommt. |
Hallo Zusammen,
ich verstehe nicht wie man folgendes berechnet: [mm] b^2/b^0^,^5!
[/mm]
Das Ergebnis müsste [mm] b^1^,^5 [/mm] sein, aber warum? Auch wenn man zB. [mm] b^1^5/b^0^,^5 [/mm] hat, kommt auch [mm] b^1^4^,^5 [/mm] raus! Also immer: Exponent minus Exponent ?
Ich verstehe nicht wie man das rechnet. Ich bitte um Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo Zusammen,
> ich verstehe nicht wie man folgendes berechnet:
> [mm]b^2/b^{0,5} [/mm] !
> Das Ergebnis müsste [mm]b^1^,^5[/mm] sein, aber warum? Auch wenn
> man zB. [mm]b^1^5/b^0^,^5[/mm] hat, kommt auch [mm]b^1^4^,^5[/mm] raus! Also
> immer: Exponent minus Exponent ?
> Ich verstehe nicht wie man das rechnet. Ich bitte um
> Hilfe
Hallo vicky441,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich nehme mal an, dass Potenzen mit Brüchen als
Exponent bei euch wohl erst gerade eingeführt
worden sind. Stimmt das ?
Dann solltest du, um das Ganze richtig verstehen
zu können, erst nochmals den Weg genau verfolgen,
wie solche Potenzen überhaupt motiviert und
definiert wurden.
Etwas vereinfacht kann man sagen: sie werden
gerade so definiert, dass die aus dem Rechnen mit
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten bekannten
Rechenregeln möglichst weitgehend erhalten bleiben.
Und eine dieser Regeln besagt eben, dass der
Quotient aus zwei Potenzen mit gleicher Basis
gleich der Potenz mit dieser Basis und mit der
Differenz der einzelnen Exponenten als neuem
Exponent ist, also:
[mm] $\frac{b^m}{b^n}\ [/mm] =\ [mm] b^{m-n}$
[/mm]
Natürlich muss nach der neu eingeführten erweiterten
Definition von Potenzen auch wirklich bewiesen werden,
dass diese Regel auch tatsächlich gültig bleibt. Es ist
aber anzunehmen bzw. zu hoffen, dass ihr genau einen
solchen Beweis wohl auch (wenigstens andeutungsweise)
mitbekommen habt ...
Oder es mag sein, dass die vorliegende Aufgabe gerade
als ein Einstiegsbeispiel für einen solchen Nachweis
gedacht ist.
In diesem Fall: mach dir klar, wie du [mm] b^{0.5} [/mm] nicht als
Potenz, sondern auf "gewöhnliche" Weise schreiben kannst
und betrachte dann den Quotienten aus [mm] b^2 [/mm] und diesem
Ausdruck !
LG , Al-Chw.
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Hallo,
Al hat eigentlich alles gesagt - also ich bin mir nicht sicher inwieweit du Beweise udgl. zu den üblichen Rechenregeln benötigst? (ich nehme an kaum).
Eventuell hilft dir ja diese Überlegung:
dir ist doch sicherlich klar:
[mm] a^m [/mm] * [mm] a^n [/mm] = [mm] a^{m+n}
[/mm]
sowie
[mm] a^{-m} [/mm] = [mm] \frac{1}{a^m}.
[/mm]
somit wäre also:
[mm] \frac{a^m}{a^n} [/mm] = [mm] a^{m}*a^{-n} [/mm] = [mm] a^{m+(-n)} [/mm] = [mm] a^{m-n}.
[/mm]
Gruß THomas
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> Hallo Zusammen,
> ich verstehe nicht wie man folgendes berechnet:
> [mm]b^2/b^0^,^5![/mm]
> Das Ergebnis müsste [mm]b^1^,^5[/mm] sein, aber warum? Auch wenn
> man zB. [mm]b^1^5/b^0^,^5[/mm] hat, kommt auch [mm]b^1^4^,^5[/mm] raus! Also
> immer: Exponent minus Exponent ?
Das Beispiel ist für den Anfang vielleicht nicht ganz optimal gewählt. Nehmen wir einmal an, deine Exponenten sind ganzzahlig. Zum Beispiel:
[mm] $\frac{b^4}{b^2}=\frac{b\cdot b\cdot b\cdot b }{ b\cdot b}=\frac{b\cdot b}{1}=b^{4-2}=b^2$
[/mm]
oder anders herum:
[mm] $\frac{b^2}{b^4}=\frac{b\cdot b }{ b\cdot b\cdot b\cdot b}=\frac{1}{b\cdot b}=\frac{1}{b^2}=b^{2-4}=b^{-2}$
[/mm]
Siehst du es so ein?
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Hallo und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
Zusätzlich zu den bisher gegebenen wichtigen Hinweisen möchte ich noch etwas anmerken.
Man lernt die Potenzgesetze in der Schule, ja. Aber wirklich beweisen kann man sie bestenfalls für ganze Exponenten, oftmals wird es nur für natürliche Exponenten gemacht. Und das geht ja auch schön einfach, etwa wie in deinem Fall:
[mm] \frac{x^m}{x^n}=\frac{\overbrace{x*x*...*x}^{m-mal}}{\underbrace{x*x*...*x}_{n-mal}}[/mm]
Wenn wir jetzt einmal annehmen, dass m>n sei, dann kann man sicherlich alle die n x im Nenner kürzen, und im Zähler verbleiben logischerweise m-n Faktoren x, also haben wir
[mm] \frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}[/mm]
für natürliche m, n mit m>n bzw. genaugenommen für [mm] m\ge{n} [/mm] gezeigt. Aber für deinen Fall könnte man jetzt sagen: da stehen ja gar keine natürlichen, noch nicht einmal ganze Zahlen im Exponenten.
Die Tatsache, dass die in der Schule gelehrten Potenzgesetze allgemeingültig in [mm] \IR [/mm] sind, also insbesondere auch für reelle Potenzen gültig sind, diese Tatsache muss man als Schüler glauben. Denn schon die Existenz von Potenzen mit irrationalen Hochzahlen kannst du dir nicht klar machen. Was möchte man sich bspw. anschaulich unter
[mm] 2^{\pi}
[/mm]
auch vorstellen?
Die Crux ist die, dass sich hinter dem Rechnen mit solchen Potenzen durchaus anspruchsvolle Definitionen aus dem Bereich dessen, was man an der Uni so unter Analysis 1 versteht, verbergen. Und man muss mit diesem Stoff absolut vertraut sein, um die Allgemeingültigkeit der Potenzgesetze überprüfen zu können.
Das wird in der Schule IMO zu wenig thematisiert. Denn es ergibt sich daraus sofort die Notwendigkeit, dass man diese Gestze auswendig lernen sollte, da man sie sich eben im Bedarfsfall nicht wirklich selbst klarmachen bzw. rekonstruieren kann.
Gruß, Diophant
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> Hallo und
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> Zusätzlich zu den bisher gegebenen wichtigen Hinweisen
> möchte ich noch etwas anmerken.
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> Man lernt die Potenzgesetze in der Schule, ja. Aber
> wirklich beweisen kann man sie bestenfalls für ganze
> Exponenten, oftmals wird es nur für natürliche Exponenten
> gemacht. Und das geht ja auch schön einfach, etwa wie in
> deinem Fall:
>
> [mm]\frac{x^m}{x^n}=\frac{\overbrace{x*x*...*x}^{m-mal}}{\underbrace{x*x*...*x}_{n-mal}}[/mm]
>
> Wenn wir jetzt einmal annehmen, dass m>n sei, dann kann man
> sicherlich alle die n x im Nenner kürzen, und im Zähler
> verbleiben logischerweise m-n Faktoren x, also haben wir
>
> [mm]\frac{x^m}{x^n}=x^{m-n}[/mm]
>
> für natürliche m, n mit m>n bzw. genaugenommen für
> [mm]m\ge{n}[/mm] gezeigt. Aber für deinen Fall könnte man jetzt
> sagen: da stehen ja gar keine natürlichen, noch nicht
> einmal ganze Zahlen im Exponenten.
>
> Die Tatsache, dass die in der Schule gelehrten
> Potenzgesetze allgemeingültig in [mm]\IR[/mm] sind, also
> insbesondere auch für reelle Potenzen gültig sind, diese
> Tatsache muss man als Schüler glauben. Denn schon die
> Existenz von Potenzen mit irrationalen Hochzahlen kannst du
> dir nicht klar machen. Was möchte man sich bspw.
> anschaulich unter
>
> [mm]2^{\pi}[/mm]
>
> auch vorstellen?
>
> Die Crux ist die, dass sich hinter dem Rechnen mit solchen
> Potenzen durchaus anspruchsvolle Definitionen aus dem
> Bereich dessen, was man an der Uni so unter Analysis 1
> versteht, verbergen. Und man muss mit diesem Stoff absolut
> vertraut sein, um die Allgemeingültigkeit der
> Potenzgesetze überprüfen zu können.
>
> Das wird in der Schule IMO zu wenig thematisiert. Denn es
> ergibt sich daraus sofort die Notwendigkeit, dass man diese
> Gestze auswendig lernen sollte, da man sie sich eben im
> Bedarfsfall nicht wirklich selbst klarmachen bzw.
> rekonstruieren kann.
>
>
> Gruß, Diophant
Hallo Diophant,
deinen hier geäußerten Ansichten möchte ich doch wenigstens
ein Stück weit widersprechen.
Ich habe in vielen Gymnasialklassen etwa auf Klassenstufe 10
Potenzen mit gebrochenen Exponenten und die dafür gültigen
Rechengesetze eingeführt. Das ging stets schrittweise vor:
zuerst eine Repetition der (bereits bekannten) Potenzen mit
ganzzahligen Exponenten, das Festhalten der dafür gültigen
Rechengesetze in Formeln, dann über einige motivierende
Beispiele zu Definitionen für Potenzen der Form [mm] a^{\frac{1}{n}}
[/mm]
sowie [mm] a^{\frac{m}{n}} [/mm] - und dann wenigstens zwei bis drei Lektionen,
in welchen es darum ging, zu zeigen, dass auch für die so
neu definierten Potenzen dieselben Rechengesetze gültig
bleiben, welche vorher für Potenzen mit ganzzahligen Expo-
nenten bekannt waren. Natürlich kostete dies jeweils auch
Unterrichtszeit, aber ich hätte es nicht für redlich gehalten,
den Schülern einfach Rechenregeln in der Manier billig zu
verkaufen wie der "billige Jakob" es tut.
Auch bei der späteren Erweiterung des Potenzbegriffs auf
Potenzen mit irrationalen Exponenten (etwa als Vorbereitung
auf das Thema der Exponentialfunktionen) bemühte ich mich
jeweils, die dafür notwendigen gedanklichen Grundlagen nicht
unter den Teppich zu kehren.
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:49 Do 05.09.2013 | | Autor: | pc_doctor |
Wenn es mir noch kurz gestattet ist , etwas anzumerken.
Bei mir war es so , dass wir Potenzen und Potenzgesetze etc mit alles drum und dran, wirklich an der Oberschule gründlich durchgenommen haben. Und immer oft wiederholt, weil das nicht immer so in den Kopf ging. Das ist zwar nicht mein Problem , aber mein Problem ist es , dass ich in der Abiturphase ( LK Mathe ) kaum etwas mit Mengen gemacht habe. Es war schlicht und einfach kein Bestandteil des Leistungskurses. Im Oktober beginnt mein Informatikstudium, Gott sei Dank hat mich die Uni angenommen, da viele vorher Ablehnungen bekommen haben. In Informatik wird viel Mathe gemacht , sehr viel. Das Problem ist , dass ich nur solche einfachen Grundlagen über die Mengenlehre weiß ( Schnittmenge, Element von etc ) . Ich muss mir das jetzt selber beibringen, das soll jetzt kein Vorwurf sein , aber ich finde es schade, dass sowas Wichtiges einfach im Leistungskurs nicht gemacht wurde. Auch das Rechnen mit komplexen Zahlen war kein Bestandteil. Also mit den Mengen sollte man eigentlich schon in der 9. anfangen.
War halt kurz meine Anmerkung zu dem wichtigen Thema :D
Alle noch 'ne gute Nacht.
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Hallo pc_doctor,
natürlich sprichst du da ein wichtiges Thema an. Gerade bei
den (politischen) Tendenzen, die Dauer der Schulzeit eher
zu verkürzen (um damit Geld zu sparen), ist es schwierig,
den gymnasialen Stoffplan in Mathe so einzuteilen, dass
alle grundlegenden Themen ausreichend behandelt und
geübt werden können. Nur ist natürlich längst nicht für
alle SchülerInnen auf dieser Stufe das gleiche Spektrum
an mathematischen Themen "für später" wichtig. Sehr
erschwerend kommt dazu, dass so ungefähr die Hälfte
der Schülerinnen und Schüler auf dieser Stufe ohnehin
glauben, Mathe sei etwas, das außerhalb der Schule,
also im sogenannten "wirklichen Leben" gar keine Rolle
spiele. Dies ist ein wirklich beängstigendes Faktum in
unserer so durch und durch auf Technik (und damit auch
auf Mathematik) gegründeten Zivilisation: Die meisten
Menschen haben von diesen kulturellen Grundlagen
leider kaum eine Ahnung, obwohl sie täglich und stündlich
die Früchte davon konsumieren ...
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:45 Fr 06.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> Hallo pc_doctor,
>
> natürlich sprichst du da ein wichtiges Thema an. Gerade
> bei
> den (politischen) Tendenzen, die Dauer der Schulzeit eher
> zu verkürzen (um damit Geld zu sparen), ist es
> schwierig,
> den gymnasialen Stoffplan in Mathe so einzuteilen, dass
> alle grundlegenden Themen ausreichend behandelt und
> geübt werden können. Nur ist natürlich längst nicht
> für
> alle SchülerInnen auf dieser Stufe das gleiche Spektrum
> an mathematischen Themen "für später" wichtig. Sehr
> erschwerend kommt dazu, dass so ungefähr die Hälfte
> der Schülerinnen und Schüler auf dieser Stufe ohnehin
> glauben, Mathe sei etwas, das außerhalb der Schule,
> also im sogenannten "wirklichen Leben" gar keine Rolle
> spiele. Dies ist ein wirklich beängstigendes Faktum in
> unserer so durch und durch auf Technik (und damit auch
> auf Mathematik) gegründeten Zivilisation: Die meisten
> Menschen haben von diesen kulturellen Grundlagen
> leider kaum eine Ahnung, obwohl sie täglich und
> stündlich
> die Früchte davon konsumieren ...
ich tendiere in Richtung minütlich bis sekündlich:
Mikrowelle, Fernseher, Handy, ... oder sagen wir mal: Alles, was mit Strom
oder Signalen zu tun hat. Unabhängig davon ist die Mathematik schon
sogar in simpleren Situationen, wie Tischdecken, gegenwärtig. Mal
abgesehen davon, dass man auch "etwas rechnen können sollte" - es sei
denn, man hat kein Problem damit, etwa beim Einkauf über's Ohr gehauen
zu werden.
Nichtsdestotrotz sollte man als Mathematiker nicht aus den Augen
verlieren, dass in vielen anderen Bereichen zwar einiges elementares aus
der Mathematik gebraucht und genutzt werden kann, aber es ineffizient
wäre, wenn man da zu viel Mathematik reinpackt. Manche Fächer bedienen
sich eben der Mathematik bzw. mathematischer Methoden, weil sie mehr
eben nicht brauchen. Dass man vielleicht weiter käme, wenn man die ein
oder andere Methode, die dort noch nicht genutzt wird, anwendet, mag
sein; aber deswegen gibt es ja eben die Forschung.
Einer meiner Kommilitonen meinte auch mal, als ich ihn fragte, ob er
eigentlich einen Sinn in seiner Doktorarbeit sehe - also insofern, als dass er
mir vielleicht sagen könne, ob er eine Ahnung habe, ob es etwa Physiker
geben könnte, die sich für seine Ergebnisse interessieren:
"Nein, das ist nur Theorie und das wird rein des Interesses wegen
betrieben. Mehr muss es ja auch nicht sein..."
Und das ist auch okay - denn vielleicht hat in ein paar Jahren oder in ein
paar Jahrzenten jemand ein physikalisches Problem, wo er mit den Dingen
arbeitet, die der Kommilitone in seiner Diss. stehen hat - und wenn er dann
Literaturrecherche betreibt und auf diese Diss. stößt, so kann er mit diesen
Ergebnissen arbeiten und vielleicht wird das dann sehr hilfreich sein. Es
spricht also nichts dagegen, dass man die Mathematik nur rein theoretisch
betreibt - und es spricht auch nichts dagegen, dass die Fächer sich nur der
Methoden bedienen, die sie brauchen.
Erschreckend finde ich aber, dass es so manch' ein Fach gibt, wo sich die
Leute mathematischer Ergebnisse bedienen, die sie selbst nicht
verstanden haben. Und noch erschreckender, dass manche solcher Leute
sich dann schon selbst als "Mathematiker" sehen. Wenn man etwas schon
nur halbherzig betreibt, dann sollte man wenigstens ehrlich bleiben und
sagen: "Da ich kein Mathematiker bin, kann ich nicht ganz erklären, wie das
zu Stande gekommen ist; aber ich habe es richtig anzuwenden gelernt, und
das kann ich Sie nun auch lehren. Wer mehr wissen will, der eigne sich das
entsprechende Fachwissen entweder selber an oder frage an
entsprechender Stelle eine entsprechende Fachkraft nach."
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:39 Fr 06.09.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Al-Chwarizmi,
ich glaube, da hast du mich falsch verstanden oder ich habe mich unklar ausgedückt. Natürlich werden Potenzen mit rationalen und mit irrationalen Exponenten in der Schule eingeführt. Und natürlich kann man die Gültigkeit der Potenzgesetze für rationale Exponenten in der Schule nachweisen, auch wenn das heutzutage immer seltener geschieht. Aber es geht doch schon damit los: [mm] 2^3, [/mm] das kann man selbst im Kopf ausrechnen. Wie sieht es mit [mm] 2^{1/3} [/mm] aus? Da muss der Taschenrechner herhalten und als Schüler lernt man in der Regel nicht, was da im TR abläuft.
Und bei den Potenzen mit irrationalen Exponenten kann man doch in der Schule die Gültigkeit der Potenzgesetze nicht mehr nachweisen, sondern höchstens herausarbeiten, dass es vernünftig ist anzunehmen, dass sie gelten.
Mir ging es darum, dass bei diesen Dingen etwas nicht berücksichtigt wird, was eher mit Psychologie als mit Mathematik zu tun hat. Wenn Schülereinnen und Schüler an der Mathematik verzweifeln, dann kommen schnell solche Sätze wie 'Ich bin da eh zu blöd', 'Ich kapiere das nie' etc. Und da ist es eben IMO didaktisch hilfreich, wenn man an solchen Stellen, wo tatsächlich Dinge gelehrt werden, die für Schüler (noch) nicht nachvollziehbar sind, dass man auf diese Problemtaik hinweist.
Ich jedenfalls tue das in meinem Unterricht systematisch und habe damit gute Erfahrungen gemacht.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:31 Fr 06.09.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Diophant,
> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> ich glaube, da hast du mich falsch verstanden oder ich habe
> mich unklar ausgedückt. Natürlich werden Potenzen mit
> rationalen und mit irrationalen Exponenten in der Schule
> eingeführt. Und natürlich kann man die Gültigkeit der
> Potenzgesetze für rationale Exponenten in der Schule
> nachweisen, auch wenn das heutzutage immer seltener
> geschieht. Aber es geht doch schon damit los: [mm]2^3,[/mm] das kann
> man selbst im Kopf ausrechnen. Wie sieht es mit [mm]2^{1/3}[/mm]
> aus? Da muss der Taschenrechner herhalten und als Schüler
> lernt man in der Regel nicht, was da im TR abläuft.
das wissen auch einige Akademiker nicht, was da wirklich im
Taschenrechner abläuft. Ich denke, die Informatiker wissen darüber sogar
meist mehr als die ("reinen") Mathematiker - und vielleicht weiß sogar der
ein oder andere Elektrotechniker noch mehr... 
Gruß,
Marcel
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> das wissen auch einige Akademiker nicht, was da wirklich im
> Taschenrechner abläuft. Ich denke, die Informatiker wissen
> darüber sogar
> meist mehr als die ("reinen") Mathematiker - und
> vielleicht weiß sogar der
> ein oder andere Elektrotechniker noch mehr...
Hallo an alle !
... aber um die TR-Algorithmen im Detail zu verstehen,
muss man dann vielleicht doch wieder Mathematiker sein !
Ich habe jedenfalls ziemlich gestaunt, als ich mir eine
Beschreibung der "CORDIC-Algorithmen" vornahm, nach
welchen offenbar viele Mikroprozessoren die gängigsten
mathematischen Funktionen auf möglichst effiziente
Weise berechnen.
LG , Al-Chwarizmi
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