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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Di 08.04.2008 | | Autor: | bonczi |
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \integral_{ }^{ }{\bruch{2x²+2x+13}{(x-2)(x²+1)²} dx} [/mm] . |
hallo leute,
hatte das letzte mal integralrechnung in der schule.. und hab mal eine frage. wie kann man denn von einem bruch die stammfunktion bilden?
wäre schön, wenn man es an einem beispiel erläutern könnte...
lg
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Hallo bonczi,
> Berechnen Sie [mm]\integral_{ }^{ }{\bruch{2x²+2x+13}{(x-2)(x²+1)²} dx}[/mm]
> .
> hallo leute,
> hatte das letzte mal integralrechnung in der schule.. und
> hab mal eine frage. wie kann man denn von einem bruch die
> stammfunktion bilden?
> wäre schön, wenn man es an einem beispiel erläutern
> könnte...
Gemäß dieses ![[]](/images/popup.gif) Ansatzes ergibt sich:
[mm]\bruch{2x²+2x+13}{(x-2)(x²+1)²}=\bruch{A}{x-2}+\bruch{B_{1}x+C_{1}}{x^{2}+1}+\bruch{B_{2}x+C_{2}}{\left(x^{2}+1}\right)^{2}} [/mm]
Die fehlenden Koeffizienten [mm]A, \ B_{1}, \ C_{1}, \ B_{2}, \ C_{2}[/mm] werden durch einen Koeffizientenvergleich ermittelt.
Ist das geschehen, so kann man die einzelnen Partialbrüche integrieren.
>
> lg
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Di 08.04.2008 | | Autor: | bonczi |
ich bekomme den koeffizientenvergleich nicht hin:
2x²+2x+13 = A(x²+1)² + B(x-2)(x²+1) + C(x-2)
2x²+2x+13 = [mm] A(x^{4}+2x²+1) [/mm] + B(x³+x-2x²-2) + C(x-2)
0=A
0=B
2=2A-2B
2=B+C
13=A-2B-2C
und das kann ja nicht funktionieren...
> [mm]\bruch{2x²+2x+13}{(x-2)(x²+1)²}=\bruch{A}{x-2}+\bruch{B_{1}x+C_{1}}{x^{2}+1}+\bruch{B_{2}x+C_{2}}{\left(x^{2}+1}\right)^{2}}[/mm]
>
> Die fehlenden Koeffizienten [mm]A, \ B_{1}, \ C_{1}, \ B_{2}, \ C_{2}[/mm]
> werden durch einen
> Koeffizientenvergleich
> ermittelt.
>
hab keine ahnung, wie das so gehen soll mit deiner formel, habe partialbruchuerlegung immer nur mit A B und C gemacht...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 Di 08.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo bonczi!
Du hast falsch sortiert. Du darfst nicht nach $A_$ , $B_$ , ... sortieren, sondern nach den einzelnen Potenzen von $x_$ :
[mm] $$(...)*x^4+(...)*x^3+(...)*x^2+(...)*x+(...) [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Di 08.04.2008 | | Autor: | bonczi |
verstehe ich immernoch nicht...
könnte mir das vielleicht jemand an einem beispiel zeigen? wäre cht nett..
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo bonczi,
du hattest weiter oben in deinem post die Erweiterung der Brüche für die PBZ nicht konsquent durchgezogen:
Nach dem Ansatz von MathePower hast du:
$\frac{A}{x-2}+\frac{Bx+C}{x^2+1}+\frac{Dx+E}{(x^2+1)^2}$
Das musst du alles auf den Hauptnenner $(x-2)(x^2+1)^2$ bringen, also entsprechend die Brüche erweitern:
$=\frac{A\cdot{}\blue{(x^2+1)^2}}{(x-2)\blue{(x^2+1)^2}}+\frac{(Bx+C)\blue{(x-2)(x^2+1)}}{(x^2+1)\blue{(x-2)(x^2+1)}}+\frac{(Dx+E)\blue{(x-2)}}{(x^2+1)^2\blue{(x-2)}}$
$=\frac{A(x^4+2x^2+1)+(Bx+C)(x^3-2x^2+x-2)+(Dx+E)(x-2)}{(x-2)(x^2+1)^2$
$=\frac{Ax^4+2Ax^2+A+Bx^4-2Bx^3+Bx^2-2Bx+Cx^3-2Cx^2+Cx-2C+Dx^2-2Dx+Ex-2E}{(x-2)(x^2+1)^2}$
$=\frac{x^4(A+B)+x^3(-2B+C)+\blue{x^2(2A+B-2C+D)}+\red{x(-2B+C-2D+E)}+\green{(A-2C-2E)}}{(x-2)(x^2+1)^2}$
Und das soll $=\frac{(0\cdot{}x^4+0\cdot{}x^3)+\blue{2x^2}+\red{2x}+\green{13}}{(x-2)(x^2+1)^2}$ sein
Also mache nun den entsprechenden Koeffizientenvgl. der Zähler...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Mi 09.04.2008 | | Autor: | bonczi |
achso! dankeschön ;) ... das Bx und Dx war für mich irgendwie verwirrend...
also habe jetzt den koeffizientenvergleich gemacht:
0 = A+B
0 = -2B+C
2 = 2A+B-2C+D
2 = -2B+C-2D+E
13 = A-2C-2E
als Lösung habe ich
A = 1
B = -1
C = -2
D = -3
E = -4
dann habe ich eingesetzt:
[mm] \integral_{ }^{ }{\bruch{2x²+2x+13}{(x-2)(x²+1)²} dx} [/mm] = [mm] \integral_{ }^{ }{\bruch{1}{x-2} dx} [/mm] - [mm] \integral_{ }^{ }{\bruch{x+2}{x²+1} dx} [/mm] - [mm] \integral_{ }^{ }{\bruch{3x+4}{(x²+1)²} dx}
[/mm]
so nun muss ich noch von diesen 3 brüchen jeweils eine stammfunktion bilden... aber wie bildet man von einem bruch eine stammfunktion? habe schon in meinem tafelwerk nachgesehen und keine formel gefunden... gibt es da vielleicht irgendeinen trick?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\integral_{ }^{ }{\bruch{2x²+2x+13}{(x-2)(x²+1)²} dx}[/mm] = [mm]\integral_{ }^{ }{\bruch{1}{x-2} dx}[/mm] - [mm]\integral_{ }^{ }{\bruch{x+2}{x²+1} dx}[/mm] - [mm]\integral_{ }^{ }{\bruch{3x+4}{(x²+1)²} dx}[/mm]
ich hoffe mal, dass das bis dahin stimmt.
Ich gebe Dir mal einzelne Tipps:
Um [mm] $\int \frac{1}{x-2}dx$ [/mm] zu berechnen, beachte, dass [mm] $\ln\,'(x)=\frac{1}{x}$ [/mm] und substituiere hier $y:=y(x):=x-2$. Dann wirst Du zu [mm] $\ln(x-2)$ [/mm] als mögliche Stammfunktion gelangen.
Um [mm] $\int \frac{x-2}{x^2+1}dx$ [/mm] zu berechnen:
[mm] $\int \frac{x-2}{x^2+1}dx=\int \frac{x}{x^2+1}dx-2*\int \frac{1}{x^2+1}dx$
[/mm]
Bei dem ersten Integral rechterhand substituiere [mm] $y:=y(x):=x^2+1$, [/mm] und bei dem zweiten Integral rechterhand beachte nun, dass [mm] $\arctan\,'(x)=\frac{1}{x^2+1}$.
[/mm]
Um [mm] $\int \frac{3x+4}{(x^2+1)^2}dx$ [/mm] zu berechnen:
[mm] $\int \frac{3x+4}{(x^2+1)^2}dx=\int \frac{3x}{(x^2+1)^2}dx+\int \frac{4}{(x^2+1)^2}dx$
[/mm]
Bei dem ersten Integral rechterhand substuiere einfach [mm] $y:=y(x):=x^2$, [/mm] dann beachte, dass (nach einer kleinen Umformung) [mm] $\frac{1}{(y+1)^2}=(y+1)^{-2}$ [/mm] und für diese Funktion die Funktion (in der Variablen $y$) dann [mm] $-(y+1)^{-2+1}=\frac{-1}{y+1}$ [/mm] eine Stammfunktion ist.
Zu dem zweiten Integral [mm] $\int \frac{4}{(x^2+1)^2}dx=4*\int \frac{1}{(x^2+1)^2}dx$ [/mm] rechterhand:
Um [mm] $\int \frac{1}{(x^2+1)^2}dx$ [/mm] zu berechnen:
[mm] $\int \frac{1}{(x^2+1)^2}dx=\int\frac{x^2+1-x^2}{(x^2+1)^2}dx=\int\frac{1}{x^2+1}dx-\int\frac{x^2}{(x^2+1)^2}dx$
[/mm]
Das erste Integral rechterhand ist klar, bei dem zweiten
[mm] $\int\frac{x^2}{(x^2+1)^2}dx=\int \underbrace{x}_{=:u(x)}*\underbrace{\frac{x}{(x^2+1)^2}}_{=:v\,'(x)}dx$
[/mm]
wende partielle Integration (http://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Integration) an
[mm] $\int [/mm] u [mm] v\,'=u*v-\int u\,' [/mm] v$
(Tipp:
$u(x)=x$ [mm] $\Rightarrow$ $u\,'(x)=1$; $v\,'(x)=\frac{x}{(x^2+1)^2}$
[/mm]
Um damit eine mögliche Stammfunktion für [mm] $v\,'(x)$ [/mm] zu berechnen:
Ansatz:
Bei [mm] $v(x):=\int \frac{x}{(x^2+1)^2}dx$ [/mm] substituiere [mm] $y:=y(x):=x^2$)
[/mm]
Ich hoffe, dass man damit dann komplett durchkommt, also kein Integral mehr stehenbleibt, das nicht einfach zu lösen ist.
Gruß,
Marcel
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