Briefproblem, Erwartungswert < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:05 Mi 24.06.2009 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | | Wir betrachten das Rencontre Problem, d.h. es werden n Briefe in n bereits adressierte Umschläge gesteckt und verschickt. Bestimmen Sie die mittlere Anzahl der richtig versendeten Briefe in Abhängigkeit von n. |
Hallo,
ich habe zwar schon einen Ansatz zu dieser Aufgabe gefunden, bin mir damit aber noch nicht so ganz sicher. Kann mir jemand sagen ob meine Lösung stimmt?
Als Verteilungsfunktion habe ich bei diesem Problem:
[mm] F(k)=P(X=k)=\left( \bruch{n!}{k!} \right)\summe_{i=0}^{n-k}(-1)^{i}*\bruch{1}{i!}
[/mm]
Demzufolge wäre der Erwartungswert doch:
[mm] E(X)=\summe_{k=0}^{n}k*P(X=k)=\summe_{k=1}^{n}k*\left( \bruch{n!}{k!} \summe_{i=0}^{n-k}(-1)^{i}*\bruch{1}{i!}\right)=\summe_{k=0}^{n-1}\left( \bruch{n!}{k!} \summe_{i=0}^{n-k-1}(-1)^{i}*\bruch{1}{i!}\right)
[/mm]
Ist dies so richtig? Und kann ich das noch vereinfachen?
Ich bräuchte dringend eure Hilfe.
Gruß DerGraf
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:40 Do 25.06.2009 | | Autor: | wauwau |
Du hast in deiner Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten den Faktor [mm] \bruch{1}{n!} [/mm] vergessen.
Aber gehen wir mal von den
[mm]F(n,k)=\left( \bruch{n!}{k!} \right)\summe_{i=0}^{n-k}(-1)^{i}*\bruch{1}{i!}[/mm]
Das ist nicht die Verteilung sondern die Anzahlfunktion.
Dann gilt die Rekursion
[mm]F(n+1,k+1) = \bruch{n+1}{k+1}F(n,k) [/mm]
oder aber
[mm] (k+1)\bruch{F(n+1,k+1) }{(n+1)!} = \bruch{F(n,k)}{n!} [/mm] (1)
Rechts steht jetzt die richtige Verteilungsfunktion!
Bildet man nun die Erzeugenden Funktionen
[mm]G(n,x)) = \summe_{i=0}^{n} \bruch{F(n,i)x^i}{n!} [/mm] mit G(n,1)=1
so wäre ja G'(n,1) der gesuchte Erwartungswert.
Da aufgrund von (1) jedoch G'(n,x) = G(n,x) gelten muss
ist der gesuchte Erwartungswert 1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:01 Do 25.06.2009 | | Autor: | DerGraf |
Vielen Dank für deine Hilfe!
Die Erklärung gefällt mir Spitze :)
Gruß
DerGraf
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