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| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{}{\wurzel{(ax^2+bx+c) }dx} [/mm] |
Hallo,
ich habe mich extra für die Lösung dieses Integrals hier eingelockt. Ich hoffe sehr dass mir jemand weiterhelfen kann.
Es gilt das Integral auf analytische Weise zu lösen. Lösbar ist es, da Derive 6 ein Ergebnis liefert.
Ich hoffe sehr ihr könnt mir helfen.
Viel Spass damit, dieses Integral macht mich nämlich noch ganz verrückt.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.onlinemathe.de/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:18 Sa 04.10.2008 | | Autor: | abakus |
> [mm]\integral_{a}^{b}{\wurzel{(ax^2+bx+c) }dx}[/mm]
> Hallo,
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> ich habe mich extra für die Lösung dieses Integrals hier
> eingelockt. Ich hoffe sehr dass mir jemand weiterhelfen
> kann.
> Es gilt das Integral auf analytische Weise zu lösen.
> Lösbar ist es, da Derive 6 ein Ergebnis liefert.
>
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> Ich hoffe sehr ihr könnt mir helfen.
> Viel Spass damit, dieses Integral macht mich nämlich noch
> ganz verrückt.
Hallo,
ist es nur ungeschickt formuliert, oder stimmen die Integrationsgrenzen a und b tatsächlich mit den Parameterwerten a und b unter der Wurzel überein?
Gruß Abakus
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> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt: http://www.onlinemathe.de/
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ja stimmt das hat beim Erstllen wohl nicht so geklappt wie ich das wollte. Es soll ein unbestimmtes Integral sein.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 Sa 04.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi und willkommen hier!
Ich nehme mal an, dass du nur das unbestimmte Integral willst, also ohne die Grenzen.
Ich wäre erstmal ein a unter der Wurzel ausklammern und das rausziehen, sodass vor dem x² nichts mehr steht.
[mm] \integral_{}^{}{\wurzel{ax^2+bx+c}dx}=\wurzel{a}\integral_{}^{}{\wurzel{x^2+\bruch{b}{a}x+\bruch{c}{a}}dx}
[/mm]
Dann kannst du unter der Wurzel quadratische Ergänzung vornehmen.
Dann bleibt etwas in der Form [mm] ...=\wurzel{a}\integral_{}^{}{\wurzel{(x+n)^2+m}dx} [/mm] stehen.
Dann kannst du mit Substitution arbeiten (u=x+n) und unter der Wurzel steht nur noch u²+m. dx wird einfach zu du, da in der Ersetzung ja nur ein einfaches x steht.
Jetzt müsstest du m aus der Wurzel ziehen, sodass unter der Wurzel [mm] \bruch{1}{m}u²+1 [/mm] steht.
Jetzt müsstest du u durch [mm] \wurzel{m}*sinh(z) [/mm] ersetzen um das Integral letztendlich zu lösen. Keine schöne Angelegenheit, aber du wolltest es ja so ;)
Und m und n sind eben irgendwelche Ausdrücke mit a, b und c drinnen.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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Hallo Teufel,
Danke für die Antwort. DIe Idee mit Substitution bis dahin kam mir auch schon. Ich habe versucht das Ganze auf
[mm] \integral_{}^{}{\wurzel{a²+x²} dx}
[/mm]
umzustellen, da das in meiner Formelsammlung (Barth, Mühlbauer, Nikol, Wörle "Mathematische Formeln und Definitionen") als Beispiel mit Lösung steht steht.
Denn dein Lösungsweg mit sin... verstehe ich nicht. Sowas haben wir noch nicht durchgenommen.
Ist mein ansatz falsch? Könntet du mit das mit sin... genauer erklären?
Mfg Markus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:52 So 05.10.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ok, an der Stelle musst du nur noch das a² zu einer 1 machen (wieder durch ausklammern). Und dann so ersetzen, dass vor der Ersetzungsvariable nichts steht, also unter der Wurzel muss dann sowas wie z²+1 stehen (genau wie bei einer Ersetzung mit Sinus oder Kosinus 1-x² stehen sollte).
Dann kann man die Hyperbelfunktionen (siehe ![[]](/images/popup.gif) hier) benutzen. Sie hängen zwar schon mit den normalen trigonometrischen Funktionen zusammen, aber sie sind trotzdem anders.
Du brauchst hier also nicht den normalen Sinus, sondern den Sinus hyperbolicus (daher noch das h in sinh), oder auch einfach Hyperbelsinus.
Der ist definiert als [mm] sinh(x)=\bruch{e^{x}-e^{-x}}{2}. [/mm] Und dann gibt es auch noch unter anderem den Hyperbelkosinus, der als [mm] cosh(x)=\bruch{e^{x}+e^{-x}}{2} [/mm] definiert ist.
Genau wie beim normalen Sinus und Kosinus folgendes gilt: cos²x+sin²x=1, gilt bei sinh und cosh: cosh²x-sinh²x=1 (kannst du einfach nachrechnen mit den anderen Darstellungen der Hyperbelfunktionen, die ich dir gegeben habe!).
Außerdem gilt: (sinhx)'=coshx und (coshx)'=sinhx, auch einfach nachzurechnen, indem du die Darstellung mit dem e verwendest.
So viel zur Theorie ;)
Und jetzt siehst du, wenn du unter der Wurzel mit sinh(z) ersetzt, hättest du da sinh²z+1 zu stehen, was das selbe wie cosh²z ist.
Wenn du das Prinzip mit dem normalen Sinus und Kosinus verstanden hast, schaffst du das hiermit sicher auch, die Grundlagen kennst du ja jetzt!
Höchstens noch beim Rücksubstituieren bräuchtest du vielleicht Hilfe, da du ja dann irgendwann noch die Umkehrfunktion des Hyperbelsinus bräuchtest. Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen sind die Areafunktionen. Wichtig für dich: KLICK!
So, ich hoffe mal, dass das alles so stimmt, da ich selbst nicht alles nachgerechnet habe. Aber wenn etwas unerwartetes auftaucht, dann meld dich einfach nochmal ;)
Teufel
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