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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Borelsche sigma Algebra
Borelsche sigma Algebra < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Borelsche sigma Algebra: Verständnissfrage
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:23 Di 23.06.2009
Autor: franceblue

Aufgabe
Sei N [mm] \in \IN [/mm] und [mm] \Omega [/mm] = [mm] \IR^{\IN}, [/mm] sowie [mm] \mathcal{A}:=\mathcal{B}(\IR^{\IN}) [/mm] die Borelsche Sigma Algebra auf [mm] \IR^{\IN}. [/mm]

Für n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] (i_{1},...,i_{n}) \in [/mm] ( [mm] 1,...N)^{n} [/mm] und [mm] w=(w_{i},...w_{N}) \in \Omega [/mm] setzen wir

[mm] \pi_{{i_{1}},...,{i_{n}}}: \Omega \to \IR^{n} [/mm]

[mm] \pi_{{i_{1}},...,{i_{n}}}(w) [/mm] := [mm] (w_{i_{1}},...w_{i_{n}}) [/mm]

Für n= 0 setzen wir  [mm] \pi_{{i_{1}},...,{i_{n}}}(w) [/mm] = [mm] \emptyset [/mm]

Zwei Elemente [mm] w^{1} ,w^{2}\in \Omega [/mm] heißen gleich bis zur Zeit
n [mm] \in \IN, [/mm] wenn gilt

[mm] \pi_{{i_{1}},...,{i_{n}}}(w^{1} [/mm] ) = [mm] \pi_{{i_{1}},...,{i_{n}}}(w^{2}) [/mm]

Wir schreiben hierfür [mm] w^{1}=_{n} w^{2} [/mm]

Für [mm] n\in \IN [/mm] setzen wir

[mm] \mathcal{B}_{n}:= [/mm] { [mm] B\in \mathcal{A} [/mm] | [mm] \forall w^{1} ,w^{2}\in \Omega [/mm] : [mm] w^{1}=_{n} w^{2} \Rightarrow( w^{1} \in [/mm] B [mm] \gdw w^{2} \in [/mm] B)}

Jetzt soll ich folgendes Zeigen!

b) Sei B [mm] \in \mathcal{B}_{n}. [/mm] Dann gilt

   B = [mm] \pi_{{1},...,{n}}(B [/mm] ) [mm] \times \IR^{N-n} [/mm] und

  [mm] \pi_{{1},...,{n}}(B [/mm] ) [mm] \in \mathcal{B}(\IR^{\IN}) [/mm]

  Insbesondere gilt  B = A [mm] \times \IR^{N-n} [/mm]

  für ein A [mm] \in \mathcal{B} (\IR^{\IN}) [/mm]

So ich habe mir jetzt schon enige Gedangen gemacht weiß aber nciht wie ich das hier verstehen soll

B = [mm] \pi_{{1},...,{n}}(B [/mm] ) [mm] \times \IR^{N-n} [/mm]  das soll das kartesiche Produkt sein

okay schön und gut

[mm] \pi_{{1},...,{n}}(B [/mm] ) = [mm] (B_{1},..,B_{n} [/mm] )

[mm] \Rightarrow [/mm] B= [mm] (B_{1},..,B_{n} [/mm] ) [mm] \times \IR^{N-n} [/mm]

Jetzt weiß ich aber genau hier nicht weiter wie ich das jetzt verstehen soll !
Wie sieht denn [mm] \IR^{N-n} [/mm] jetz aus ?

Dann weiß ich ja noch das B [mm] \in \mathcal{B}_{n} [/mm]

Aber wie genau sieht es dann aus?

Kann mir bitte irgendjemand helfen     DANKE


        
Bezug
Borelsche sigma Algebra: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:21 Fr 26.06.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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