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| Aufgabe | Sei X eine Menge ausgestattet mit einer Topologie [mm] \mathcal{T} [/mm] und sei [mm] Y\subset [/mm] X.
Zeigen Sie: [mm] \mathcal{B}(Y)=\mathcal{B}(X)\cap [/mm] Y |
Heyho!
Also Y soll wohl zusammen mit der Relativtopologie [mm] \mathcal{T}_{Y}:=\{U\cap Y| U\in \mathcal{T}\} [/mm] betrachtet werden.
Und [mm] \mathcal{B}(X)\cap [/mm] Y ist definiert als
[mm] \mathcal{B}(X)\cap Y:=\{A\cap Y| A\in \mathcal{B}(X)\}
[/mm]
[mm] \mathcal{B}(Y):=\sigma(\mathcal{T}_{Y}):=\bigcap_{\mathcal{A}_{Y}\supset\mathcal{T}_{Y}: \sigma-Algebra}\mathcal{A}_{Y}
[/mm]
[mm] \mathcal{B}(X)\cap Y=\{A\cap Y| A\in \bigcap_{\mathcal{A}_{X}\supset \mathcal{T}: \sigma-Algebra}\mathcal{A}_{X}\}
[/mm]
Klar ist, dass [mm] \mathcal{B}(Y)\subset\mathcal{B}(X)\cap [/mm] Y, da das rechte offenbar [mm] \mathcal{T}_{Y} [/mm] umfasst und eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist.
Wie zeige ich jedoch die andere Richtung?
Sei [mm] A\in\mathcal{A}_{X} [/mm] für alle [mm] \sigma-Algebren \mathcal{A}_{X}\supset\mathcal{T}
[/mm]
Warum ist dann [mm] A\cap Y\in \mathcal{A}_{Y} [/mm] für alle [mm] \sigma-Algebren, [/mm] die [mm] \mathcal{T}_{Y} [/mm] beinhalten?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Fr 22.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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