Borelsche Mengen < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Mo 20.12.2010 | | Autor: | Druss |
| Aufgabe | | Sei [mm] A_1, A_2,...Borelsche [/mm] Mengen in R und sei B die Menge aller [mm] \omega\in\mathbb{R}, [/mm] die für jedes n in n aufeinanderfolgenden Mengen [mm] A_i [/mm] vorkommen. Zeigen Sie, dass B Borelsch ist. |
Hallo,
ich meine verstanden zu haben was eine Borelmenge ist.
Wenn ich mir ein Mengensystem [mm] \mathcal{F} [/mm] angucke und alle [mm] \sigma [/mm] - Algebren [mm] \mathcal{A}_i [/mm] betrachte die [mm] \mathcal{F}\subset\mathcal{A}_i [/mm] erfüllen und ich diese dann schneide also
[mm] \bigcap_{i\in I}\mathcal{A}_i [/mm] = [mm] \mathcal{A}_I
[/mm]
dann ist [mm] \mathcal{A}_I [/mm] die kleinste [mm] \sigma [/mm] - Algebra die [mm] \mathcal{F} [/mm] enthält die Borelmenge sprich [mm] \mathcal{A}(\mathcal{F}).
[/mm]
PS: verstehe bei der obigen Afg nicht was mit "die für jedes n in n aufeinanderfolgenden Mengen [mm] A_i [/mm] vorkommen" gemeint sein soll...
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:07 Di 21.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]A_1, A_2,...Borelsche[/mm] Mengen in R und sei B die Menge
> aller [mm]\omega\in\mathbb{R},[/mm] die für jedes n in n
> aufeinanderfolgenden Mengen [mm]A_i[/mm] vorkommen. Zeigen Sie, dass
> B Borelsch ist.
> Hallo,
>
> ich meine verstanden zu haben was eine Borelmenge ist.
>
> Wenn ich mir ein Mengensystem [mm]\mathcal{F}[/mm] angucke und alle
> [mm]\sigma[/mm] - Algebren [mm]\mathcal{A}_i[/mm] betrachte die
> [mm]\mathcal{F}\subset\mathcal{A}_i[/mm] erfüllen und ich diese
> dann schneide also
>
> [mm]\bigcap_{i\in I}\mathcal{A}_i[/mm] = [mm]\mathcal{A}_I[/mm]
>
> dann ist [mm]\mathcal{A}_I[/mm] die kleinste [mm]\sigma[/mm] - Algebra die
> [mm]\mathcal{F}[/mm] enthält die Borelmenge sprich
> [mm]\mathcal{A}(\mathcal{F}).[/mm]
>
> PS: verstehe bei der obigen Afg nicht was mit "die für
> jedes n in n aufeinanderfolgenden Mengen [mm]A_i[/mm] vorkommen"
> gemeint sein soll...
Ja, das ist schon seltsam formuliert .....
Ich hoffe ich habs richtig interpretiert:
Für n [mm] \in \IN [/mm] definieren wir eine Folge [mm] (B_j^n) [/mm] wie folgt:
[mm] $B_j^n:= A_j \cup A_{j+1} \cup [/mm] ... [mm] \cup A_{j+n-1}$ [/mm] ($j [mm] \in \IN$)
[/mm]
Meine Interpretation: [mm] $\omega \in [/mm] B : [mm] \gdw [/mm] $ zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] gibt es ein j [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] \omega \in B_j^n.
[/mm]
Setzt man [mm] $C_n:= \bigcup_{j \in \IN}^{}B_j^n$, [/mm] so erält man:
[mm] $\omega \in [/mm] B [mm] \gdw [/mm] $ für jedes n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] \omege \in C_n.
[/mm]
Fazit: $B= [mm] \bigcap_{n \in \IN}^{}C_n$
[/mm]
Nun ist aber leicht zu sehen, dass B Borelsch ist, oder etwa nicht ?
FRED
FRED
>
> mfg
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:43 Di 21.12.2010 | | Autor: | Druss |
Hallo,
danke für deine Antwort verstehe jedoch nicht genau was mit dem [mm] C_n [/mm] passiert^^ (habe erst seit einer woche das Thema Borelmengen und bin mir in diesem Gebiet noch relativ unsicher)
Ich habe nochmal nachgefragt bzgl der komischen Formulierung und mit "für jedes n in n aufeinanderfolgenden Mengen [mm] A_i [/mm] ist gemeint, dass wenn ich mir ein [mm] n\in [/mm] N aussuche beispielsweise 4 dann ist [mm] \omega\in\mathbb{R} [/mm] in den Mengen [mm] A_i, A_{i+1},..,A_{i+4-1} [/mm] (praktisch so wie du schon oben B definiert hast) enthalten.
Die definition von $ [mm] B_j^n:= A_j \cup A_{j+1} \cup [/mm] ... [mm] \cup A_{j+n-1} [/mm] $ verstehe ich also.
Zusätzlich weiß ich ja noch, das die [mm] A_i [/mm] Borelsch sind.
Darunter habe ich verstanden, dass die Borelmenge alle Intervalle (a,b) auf [mm] \mathbb{R} [/mm] beinhaltet und entsprechend das was dadurch erzeugt werden kann (Komplemente, Vereinigungen, etc...). Habe jetzt ein beidseitig offenes Intervall aber man kann ja zeigen, dass auch das beidseitig abgeschlossene Intervall in der Menge ist.
Somit habe ich ja mit B eine vereinigung von Borelmengen. Somit erfüllt B gerade, dass [mm] \omega\in [/mm] B ist.
Damit nun B Borelsch ist müsste ich ja nun noch zeigen, dass Komplement und vereinigung von [mm] \omega [/mm] mit allen anderen Mengen in B sind.
PS: Habe [mm] \omega\in\mathbb{R} [/mm] so interpretiert, dass es eine beliebige Zahl aus [mm] \mathbb{R} [/mm] ist also nur eine einzige Zahl.
vielen Dank nochmal
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Sa 25.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:50 Mi 22.12.2010 | | Autor: | SEcki |
> [mm]B_j^n:= A_j \cup A_{j+1} \cup ... \cup A_{j+n-1}[/mm] ([mm]j \in \IN[/mm])
Sicher, dass du nicht [m]\cap[/m] willst?
> Nun ist aber leicht zu sehen, dass B Borelsch ist, oder
> etwa nicht ?
Da muss man nichts sehen - da Borelmengen eine [m]\sigma-[/m]Algebra bilden, darf man abzählbare Vereinigungen und Schnitte durchführen, ohne dieses Mengensystem zu verlassen.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Druss |
Hallo,
danke für deine Mitteilung.
So wie ich die Aufgabe nun verstanden habe weiß ich, dass [mm] \omega\in\mathbb{R} [/mm] in irgendein n in der irgendeiner Menge [mm] A_i [/mm] der n aufeinanderfolgenden Mengen liegt.
Deswegen müsste ich in der Tat schneiden wenn ich möchte, dass [mm] \omega\in [/mm] B ist.
Dein letzten Satz kann ich leider nicht ganz nachvollziehen aber habe weiter geschlussfolgert, dass ich zwar über alle Mengen [mm] A_j [/mm] schneide also n schnitte habe
[mm] \Rightarrow \bigcap_{j=k}^{k+n-1} A_j
[/mm]
der obige Ausdruck muss für alle [mm] k\in\mathbb{N} [/mm] gelten, weil nicht wissen wo [mm] \omega [/mm] ist deswegen schneiden wir die n aufeinander folgenden Mengen ab jedem möglichen k (da [mm] \omega [/mm] ja irgendwo auf [mm] \mathbb{R} [/mm] sein kann)
[mm] \Rightarrow \bigcup_{k\in\mathbb{N}}\bigcap_{j=k}^{k+n-1}A_j
[/mm]
den letzten schritt hat mir mein tutor hingeschrieben kann jedoch nicht ganz nachvollziehen was dort gemacht wird
[mm] \Rightarrow \bigcap_{n\in\mathbb{N}}\bigcup_{k\in\mathbb{N}}\bigcap_{j=k}^{k+n-1}A_j
[/mm]
Ich habe eine Menge welche Borelsch ist nun als solche verstanden, dass sie Element der Borelschen Sigma Akgebra ist (beispielsweise irgendein offenes Intervall auf [mm] \mathbb{R}).
[/mm]
Ich soll ja gerade zeigen, dass B Borelsch ist. Ich muss also nur sehen, dass B ein Intervall auf [mm] \mathbb{R} [/mm] ist und weiß damit, dass B Element der Borelschen Sigma Algebra ist und bin fertig?
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Do 23.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> danke für deine Mitteilung.
>
> So wie ich die Aufgabe nun verstanden habe weiß ich, dass
> [mm]\omega\in\mathbb{R}[/mm] in irgendein n in der irgendeiner Menge
> [mm]A_i[/mm] der n aufeinanderfolgenden Mengen liegt.
>
> Deswegen müsste ich in der Tat schneiden wenn ich möchte,
> dass [mm]\omega\in[/mm] B ist.
>
> Dein letzten Satz kann ich leider nicht ganz nachvollziehen
> aber habe weiter geschlussfolgert, dass ich zwar über alle
> Mengen [mm]A_j[/mm] schneide also n schnitte habe
>
> [mm]\Rightarrow \bigcap_{j=k}^{k+n-1} A_j[/mm]
>
> der obige Ausdruck muss für alle [mm]k\in\mathbb{N}[/mm] gelten,
> weil nicht wissen wo [mm]\omega[/mm] ist deswegen schneiden wir die
> n aufeinander folgenden Mengen ab jedem möglichen k (da
> [mm]\omega[/mm] ja irgendwo auf [mm]\mathbb{R}[/mm] sein kann)
>
> [mm]\Rightarrow \bigcup_{k\in\mathbb{N}}\bigcap_{j=k}^{k+n-1}A_j[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> den letzten schritt hat mir mein tutor hingeschrieben kann
> jedoch nicht ganz nachvollziehen was dort gemacht wird
>
> [mm]\Rightarrow \bigcap_{n\in\mathbb{N}}\bigcup_{k\in\mathbb{N}}\bigcap_{j=k}^{k+n-1}A_j[/mm]
In der Aufgabenstellung steht doch, dass ein Element in $B$ liegt, wenn es fuer jedes $n$ in ... liegt. Also musst du ueber alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] schneiden.
Oder ganz formal: es ist doch $B = [mm] \{ \omega \in \Omega \mid \forall n \in \IN \exists k \in IN \forall j \in \{ k, \dots, k + n - 1 \} : \omega \in B_j \}$. [/mm] Macht das Sinn?
Wenn du diese Formalisierung der Aufgabenstellung nachvollziehen kannst, ist der Rest einfach. Aus [mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN$ [/mm] wird ein Schnitt, also [mm] $\bigcap_{n\in\IN} \{ \omega \in \Omega \mid \exists k \in \IN \forall j \in \{ k, \dots, k + n - 1 \} : \omega \in B_j \}$, [/mm] und aus [mm] $\{ \omega \in \Omega \mid \exists k \in \IN \forall j \in \{ k, \dots, k + n - 1 \} : \omega \in B_j \}$ [/mm] wird die Vereinigung [mm] $\bigcup_{k\in\IN} \{ \omega \in \Omega \mid \forall j \in \{ k, \dots, k + n - 1 \} : \omega \in B_j \}$, [/mm] und [mm] $\{ \omega \in \Omega \mid \forall j \in \{ k, \dots, k + n - 1 \} : \omega \in B_j \}$ [/mm] ist einfach gleich [mm] $\bigcup_{j=k}^{k+n-1} B_j$.
[/mm]
> Ich habe eine Menge welche Borelsch ist nun als solche
> verstanden, dass sie Element der Borelschen Sigma Akgebra
> ist (beispielsweise irgendein offenes Intervall auf
> [mm]\mathbb{R}).[/mm]
Ja. Es gibt aber auch Mengen, die voellig anders aussehen und ebenfalls Borelsch sind.
> Ich soll ja gerade zeigen, dass B Borelsch ist. Ich muss
> also nur sehen, dass B ein Intervall auf [mm]\mathbb{R}[/mm] ist und
> weiß damit, dass B Element der Borelschen Sigma Algebra
> ist und bin fertig?
Nein. $B$ ist i.A. kein Intervall.
Es reicht voellig aus, die Eigenschaft einer [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] zu kennen. Und die sagt aus: zu jedem $n$ und $k$ ist [mm] $C_{n,k} [/mm] := [mm] \bigcap_{j=k}^{k+n-1} B_j$ [/mm] wieder in der [mm] $\sigma$-Algebra, [/mm] wenn alle [mm] $B_j$ [/mm] drinnen liegen.
Und zu jedem $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist [mm] $D_n [/mm] := [mm] \bigcup_{k=1}^\infty C_{n,k}$ [/mm] wieder in der [mm] $\sigma$-Algebra, [/mm] wenn alle [mm] $C_{n,k}$ [/mm] drinnenliegen.
Und weiterhin ist [mm] $\bigcap_{n=1}^\infty D_n$ [/mm] wieder in der [mm] $\sigma$-Algebra, [/mm] wenn alle [mm] $D_n$ [/mm] drinnenliegen.
LG Felix
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(Frage) überfällig | | Datum: | 15:10 Do 06.01.2011 | | Autor: | Druss |
Hey,
so bin wieder aus dem weinachtschaos daheim....
was genau liegt nun eigentlich in B?^^
Ich habe bei meiner Bearbeitung irgendwie zweifel...
ich habe das so verstanden, dass ein [mm] \omega\in\mathbb{R} [/mm] irgendwo in einer der n aufeinanderfolgenden Mengen [mm] A_i [/mm] liegt.
Nehmen wir beispielsweise n=5 und k=5 so liegt [mm] \omega\in\mathbb{R}
[/mm]
entweder in [mm] A_5 [/mm] oder [mm] A_6 [/mm] oder [mm] A_7 [/mm] oder [mm] A_8 [/mm] oder [mm] A_9 [/mm] oder A_10.
Wenn ich nun die [mm] A_j [/mm] schneide wieso stelle ich dann sicher, dass in dieser Menge [mm] \omega [/mm] enthalten ist? Es müsste doch dann [mm] \omega [/mm] in jeder Menge [mm] A_j [/mm] enthalten sein damit dies gewährleistet ist.
mfg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 So 09.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:29 Do 23.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > [mm]B_j^n:= A_j \cup A_{j+1} \cup ... \cup A_{j+n-1}[/mm] ([mm]j \in \IN[/mm])
>
> Sicher, dass du nicht [m]\cap[/m] willst?
das denke ich auch :)
LG Felix
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