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| Aufgabe | Zeigen sie:
a) { [mm] x\in\IR [/mm] | [mm] x\in\IQ, [/mm] oder [mm] (x\in\IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] und [mm] |x|>\pi [/mm] } ist Borelmenge in [mm] \IR.
[/mm]
b) {(x,y) | 2 [mm] \le [/mm] x < 3; 0 [mm] \le [/mm] y < [mm] x^{3} [/mm] } ist Borelmenge im [mm] \IR^{2}. [/mm] |
Ich habe mehrere Fragen dazu. Bei a) ist das rational klar, aber wieso ist der irrationale Teil borelsch? Und reicht es bei b) das ganze wie folgt zu schreiben: {(x,y) | x [mm] \in [/mm] ]2,3[ [mm] \cup [/mm] {2}; y [mm] \in ]0,x^{3}[ \cup [/mm] {0} }?
Oder muss ich das ganz anders machen? Dank euch schonmal. Nora
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Hallo,
was ist die Komplementmenge der rationalen Zahlen? ;)
Du bist auch in der Vorlesung von Behrends?
Mfg,
Christoph
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Ja, ich bin wohl auch bei Behrends ;)
Aber deinen Tipp habe ich komplett nicht verstanden ;( und bei 2b, reicht das so?
Dank dir trotzdem für die Mühe. Nora
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:55 Mo 26.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Aber deinen Tipp habe ich komplett nicht verstanden ;(
Die Menge aus a) ist [mm] $\IQ \cup ((\IR \setminus \IQ) \cap [/mm] ( [mm] (-\infty, -\pi) \cup (\pi, \infty) [/mm] ))$.
> und bei 2b, reicht das so?
Nein. Du musst die Menge als abzaehlbaren Schnitt / abzaehlbare Vereinigung von Quadern schreiben.
Bedenke, dass du die Menge erstmal schreiben kannst als [mm] $\bigcup_{x \in [2, 3)} (\{ x \} \times [/mm] [0, [mm] x^3))$ [/mm] (dies ist eine ueberabzaehlbare Vereinigung).
EDIT: Nach Korrektur -- $[0, x]$ ersetzen durch [mm] $\{ x \}$ [/mm] -- klappt das leider nicht mehr ganz so wie gedacht.
LG Felix
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Muss ich bei a noch zeigen, dass [mm] \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] eine Borelmenge ist, oder ist das klar, weil [mm] \IQ [/mm] und [mm] \IR [/mm] Borelmengen sind und dadurch auch [mm] \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] ?
Und bei b versteh ich zwar deine Kreuzmenge, aber wie mach ich daraus jetzt eine abzählbare Vereinigung? Wenn ich für [mm] x^{3} [/mm] einfach 27 einsetze, dann hab ich den größtmöglichen y-Wert gefunden, aber nützt das was? Und kann ich das nicht vereinfachen, da ja bei beiden die Null vorkommt? Aber ich seh es im Moment echt nicht .... Sorry.
Lieben Gruß, Nora.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:57 Di 27.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Nora!
> Muss ich bei a noch zeigen, dass [mm]\IR[/mm] \ [mm]\IQ[/mm] eine Borelmenge
> ist, oder ist das klar, weil [mm]\IQ[/mm] und [mm]\IR[/mm] Borelmengen sind
> und dadurch auch [mm]\IR[/mm] \ [mm]\IQ[/mm] ?
Genau.
> Und bei b versteh ich zwar deine Kreuzmenge, aber wie mach
> ich daraus jetzt eine abzählbare Vereinigung?
Mit der korrigierten Vereinigung klappt das nicht mehr.
Aber betrachte doch mal die Abbildung $f : [1, [mm] \infty) \times \IR \to \IR^2$, [/mm] $(x, y) [mm] \mapsto [/mm] (x, y / [mm] x^3)$. [/mm] Das Urbild von $[2, 3) [mm] \times [/mm] [0, 1)$ unter dieser Abbildung ist doch gerade die gesuchte Menge, und diese Abbildung ist stetig.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:05 Mo 26.10.2009 | | Autor: | pelzig |
> Bedenke, dass du die Menge erstmal schreiben kannst als
> [mm]\bigcup_{x \in [2, 3)} ([0, x] \times [0, x^3))[/mm].
Du meinst wohl [mm] $\bigcup_{x\in[2,3)}\{x\}\times[0,x^3)$. [/mm] Das Was du geschrieben hast ist jedenfalls viel zu groß, betrachte nur mal den Punkt (0,0)...
Gruß, Robert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:49 Di 27.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Robert!
> > Bedenke, dass du die Menge erstmal schreiben kannst als
> > [mm]\bigcup_{x \in [2, 3)} ([0, x] \times [0, x^3))[/mm].
>
> Du
> meinst wohl [mm]\bigcup_{x\in[2,3)}\{x\}\times[0,x^3)[/mm]. Das Was
> du geschrieben hast ist jedenfalls viel zu groß, betrachte
> nur mal den Punkt (0,0)...
Oh, ja, da hast du Recht. Danke fuer den Hinweis! :)
LG Felix
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