Borel - Mengen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:42 Mo 18.10.2010 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe | Bei welchen der folgenden Mengen handelt es sich um eine Borel- Menge? Beweisen Sie Ihre Antwort.
a) [mm] \IR [/mm] \ [mm] \IQ
[/mm]
b) (-1,1 ; 5,3] [mm] \cup \IN
[/mm]
c) x [mm] \in [/mm] [0,1] : x enthält die Ziffer 8 in der Dezimaldarstellung
Anmerkung zu c: für rationale abbrechende Zahlen wird nicht die Darstellung [mm] 0,....\overline{9} [/mm] gewählt. |
Hallo,
Wollte um eure Hilfe bitten. Bin mit der Aufgabe noch nicht so weit und komme jetzt schon nicht weiter.
zu a:
[mm] \IR [/mm] Borel - Menge und [mm] \IQ [/mm] Borel- Menge [mm] \Rightarrow \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] Borelmenge
zu b:
hier bräuchte ich einen Tipp bitte.
zu c:
Darstellung von der Menge:
X= {x= [mm] \summe_{i=1}^{\infty} k_{i} 10^{-i} [/mm] : [mm] c_{k} [/mm] = 8 für mindestens ein k, [mm] k=1,2,.....\infty}
[/mm]
hilft mir diese Darstellung?
Vielen Dank im Voraus!
Gruß
|
|
| |
|
Hiho,
> zu b:
> hier bräuchte ich einen Tipp bitte.
Was weisst du denn über [mm] \IN [/mm] und Intervalle der Form (a,b] ?
> zu c:
> hilft mir diese Darstellung?
Jop und die Suchfunktion hier im Forum 
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Mo 18.10.2010 | | Autor: | Ultio |
Hallo, danke dir nochmal.
Ist (a) in Ordnung. wie kann ich den Beweis starten? Oder ist das schon der "Beweis"?
So eine Borel-Menge ist ein Element einer Borel-sigma - Algebra. Diese ist von offenen Mengen des [mm] \IR^n [/mm] erzeugt. n in diesem falle 1.
Aber:
Man kann jede Borel-Menge als Vereinigung, Komplement oder schnitt von offenen Mengen darstellen.
Das Komplement einer offenen Menge ist abgeschlossen und umgekehrt. Das heißt die [mm] \IN [/mm] sind Borelmenge da sie Komplement einer offenen Teilmenge des [mm] \IR [/mm] sind. dagegen ist das halboffene Intervall weder abgeschlossen noch offen und daher keine Borelmenge --> b keine Borelmenge
Ist das soweit richtig? Ist das auch schon die Begründung?
> Jop und die Suchfunktion hier im Forum
>
das habe ich jetzt nicht ganz verstanden.
Schönen Abend noch und vielen Dank.
Gruß
|
|
|
| |
|
> Hallo, danke dir nochmal.
>
> Ist (a) in Ordnung. wie kann ich den Beweis starten? Oder
> ist das schon der "Beweis"?
Huhu, der Beweis bei (a) ist fertig 
>
>
> So eine Borel-Menge ist ein Element einer Borel-sigma -
> Algebra. Diese ist von offenen Mengen des [mm]\IR^n[/mm] erzeugt.
> n in diesem falle 1.
Oder von den abgeschlossenen Intervallen erzeugt
Dazu aber später mehr.
> Aber:
> Man kann jede Borel-Menge als Vereinigung, Komplement oder
> schnitt von offenen Mengen darstellen.
> Das Komplement einer offenen Menge ist abgeschlossen und
> umgekehrt. Das heißt die [mm]\IN[/mm] sind Borelmenge da sie
> Komplement einer offenen Teilmenge des [mm]\IR[/mm] sind. dagegen
> ist das halboffene Intervall weder abgeschlossen noch offen
> und daher keine Borelmenge --> b keine Borelmenge
Na dann schauen wir uns mal die abgeschlossenen Intervalle [mm] $\left[1,3 - \bruch{1}{k}\right], [/mm] k [mm] \in \IN$.
[/mm]
Von denen weisst du ja bereits, dass sie borelsch sind.....
Betrachte nunmal [mm] $\bigcup_{k=1}^{\infty}\left[1,3 - \bruch{1}{k}\right]$
[/mm]
Was kommt da raus, was weißt du über diese Vereinigung?
Und nun bist du wieder dran
> > Jop und die Suchfunktion hier im Forum
> >
> das habe ich jetzt nicht ganz verstanden.
Deine Aufgabe c) gab es hier schonmal im Forum, war nur zu faul zu suchen.
Nutz mal die Suchfunktion, dann findest du sie bestimmt
MFG,
Gono.
|
|
|
|
