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Hallo!
Ich habe eine Frage zur folgenden Aufgabe. Ich habe sie bewiesen, so wie ich denke, aber ich bin mir unsicher, ob das stimmen könnte.
a) Gegeben ist eine borel-messbare Funktion g [mm] :\IR \to \IR\{0}.
[/mm]
z.z. : [mm] \bruch{1}{g} [/mm] ist auch borel-messbar.
Ich bin so vorgegangen:
Sei h: x [mm] \to [/mm] 1, [mm] x\in \IR [/mm] eine konstante Abbildung. Da {1} abgeschlossen ist, ist es borel-messbar. Also ist [mm] \bruch{1}{g} [/mm] eine Komposition der messbaren Abbildungen h und g:
[mm] \bruch{1}{g} [/mm] = 1 * [mm] (g)^{-1}, [/mm] da die Multiplikationsabb. borel-messbar ist, und somit auch borel-messbar. Stimmt das?
Und falls im Zähler nicht 1 steht, sondern wiederum eine borel-messbare Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] und im Nenner g : [mm] \IR \to \IR [/mm] nullstellenfrei, dann soll der Quotient [mm] \bruch{f}{g} [/mm] auch borel-messbar sein.
Hierbei bin ich so vorgegangen:
[mm] \bruch{f}{g} [/mm] ist eine Komposition der messbaren Abbildungen (f,g) : [mm] \IR \to \IR^{2} [/mm] und der Multiplikationsabbildung [mm] \IR^{2} \to \IR, [/mm] dann ist auch f * [mm] \bruch{1}{g} [/mm] = [mm] \bruch{f}{g} [/mm] borel-messbar. ( [mm] \bruch{1}{g} [/mm] ist ja laut Teilaufgabe a) borel-messbar.) ISt das richtig?
Danke für die Hilfe!
fs
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:17 Mo 31.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Deine Lösung zu a) macht so keinen Sinn.
Da aber die Abbildung
[mm] $\varphi :\begin{array}{ccc} \IR \setminus\{0\} & \to & \IR \setminus \{0\} \\[5pt] x & \mapsto & \frac{1}{x} \end{array}$
[/mm]
stetig, also insbesondere Borel-messbar ist, folgt die Behauptung, da [mm] $\frac{1}{g}$ [/mm] die Verkettung Borel-messbarer Funktionen ist.
Liebe Grüße
Stefan
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