Borel-Cantelli < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Sa 21.11.2015 | | Autor: | fishy |
| Aufgabe | Ich wollte nur sicher gehen, dass ich folgenden Beweis richtig verstehe:
Lemma von Borel-Cantelli:
Sei [mm] (A_k)_{k= 1}^{\infty} [/mm] eine Folge von Ereignissen in einem Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Omega, [/mm] F, P) und [mm] A:=\{\omega\in \Omega: \omega\in A_k \text{für unendlich viele}k\}
[/mm]
(a) Ist [mm] \sum_{k=1}^{\infty} P(A_k)<\infty, [/mm] so ist P(A)=0 |
Also der Beweis sieht folgendermaßen aus.
[mm] \omega \in \Omega, [/mm] wenn zu jedem m ein [mm] k\geq [/mm] m existiert.
[mm] \Rightarrow A\subseteq \bigcup_{k= m}^{\infty} A_k.
[/mm]
Unendlich viele bedeutet nicht, dass es eben ein m gibt, sodass dann für alle [mm] k\geq [/mm] m [mm] \omega\in A_k [/mm] ist, sondern es würde auch reichen wenn eben nur für alle [mm] k^2 \geq [/mm] m [mm] \omega \in A_k^2 [/mm] ist oder?
Dann kann man einfach die Monotonie von P ausnutzen und erhält:
[mm] P(A)\leq P(\bigcup_{k=m}^{\infty} A_k) \leq \sum_{k= m}^{\infty} P(A_k) [/mm] für alle m.
Im limes [mm] m\to \infty [/mm] strebt die Summe gegen 0, wenn [mm] \sum_{k= 1}^{\infty} P(A_k)<\infty.
[/mm]
Also die Summe ist konvergent, da [mm] \sum_{k\geq 1} P(A_k)<\infty [/mm] also geht die Folge der Partailsummen gegen 0. Das heißt für große m summiere ich nur noch 0en auf, sodass meine Wahrscheinlichkeit 0 ists oder verstehe ich das falsch?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Mo 23.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ich wollte nur sicher gehen, dass ich folgenden Beweis
> richtig verstehe:
> Lemma von Borell-Cantelli:
>
> Sei [mm](A_k)_{k= 1}^{\infty}[/mm] eine Folge von Ereignissen in
> einem Wahrscheinlichkeitsraum [mm](\Omega,[/mm] F, P) und
> [mm]A:=\{\omega\in \Omega: \omega\in A_k \text{für unendlich viele}k\}[/mm]
>
> (a) Ist [mm]\sum_{k=1}^{\infty} P(A_k)<\infty,[/mm] so ist P(A)=0
>
>
>
> Also der Beweis sieht folgendermaßen aus.
>
> [mm]\omega \in \Omega,[/mm] wenn zu jedem m ein [mm]k\geq[/mm] m existiert.
> [mm]\Rightarrow A\subseteq \bigcup_{k= m}^{\infty} A_k.[/mm]
>
> Unendlich viele bedeutet nicht, dass es eben ein m gibt,
> sodass dann für alle [mm]k\geq[/mm] m [mm]\omega\in A_k[/mm] ist, sondern es
> würde auch reichen wenn eben nur für alle [mm]k^2 \geq[/mm] m
> [mm]\omega \in A_k^2[/mm] ist oder?
$w [mm] \in [/mm] A $ bedeutet: es ex. [mm] n_1,n_2,n_3,... \in \IN [/mm] mit
[mm] n_1
Setzt man [mm] m:=n_1, [/mm] so ist
[mm] \bigcup_{k=1}^{\infty}A_{n_k} \subseteq \bigcup_{k=m}^{\infty}A_k
[/mm]
Also
$w [mm] \in \bigcup_{k= m}^{\infty} A_k. [/mm] $
>
>
> Dann kann man einfach die Monotonie von P ausnutzen und
> erhält:
>
> [mm]P(A)\leq P(\bigcup_{k=m}^{\infty} A_k) \leq \sum_{k= m}^{\infty} P(A_k)[/mm]
> für alle m.
>
> Im limes [mm]m\to \infty[/mm] strebt die Summe gegen 0, wenn
> [mm]\sum_{k= 1}^{\infty} P(A_k)<\infty.[/mm]
>
> Also die Summe ist konvergent, da [mm]\sum_{k\geq 1} P(A_k)<\infty[/mm]
> also geht die Folge der Partailsummen gegen 0. Das heißt
> für große m summiere ich nur noch 0en auf, sodass meine
> Wahrscheinlichkeit 0 ists oder verstehe ich das falsch?
Ja.
machen wirs so: Sei [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_k [/mm] eine konvergente Reihe mir nichtnegativen Gliedern [mm] a_k [/mm] und a [mm] \in [/mm] [0, [mm] \infty) [/mm] so, dass
(*) a [mm] \le \summe_{k=m}^{\infty}a_k [/mm] für alle m [mm] \in \IN.
[/mm]
Sei [mm] s_m:=\summe_{k=m}^{\infty}a_k. [/mm] Aus der Konvergenz der Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_k [/mm] folgt, dass die Folge [mm] (s_m) [/mm] eine Nullfolge ist.
Aus (*) folgt:
0 [mm] \le [/mm] a [mm] \le s_m [/mm] für alle m.
Mit m [mm] \to \infty [/mm] haben wir: a=0.
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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