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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:38 Do 24.11.2011 | | Autor: | j3ssi |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | Sei $(B,\wedge,\vee) $ ein Boolescher Verband. Seien ferner a,b Elemente in B mit $ a \preceq b$. Zeigen Sie: $ (\{x \in B | a \preceq x \preceq b},\wedge, \vee\})$ ist ebenfalls ein Boolescher Verband. |
Laut dem zugehörigen Script sind $x \wedge y = inf(\{x,y\}) $ und $ x \vee y=sup(\{x,y\}) $ Um zu zeigen, dass oben genannate Konstruktion ein Boolescher Verband ist muss ich laut Script Neutralität, Extremalgesetze, Eindeutigkeit und Existenz des komplementären Elements zeigen.
Bei den Beweisschritten für Extremalgesetze und Neutralität kommt heraus, dass das Neutrale Element bezüglich $ x\wedge1=x$ mit $ 1=a$ funktioniert.
Beim weiteren Beweisschritt bekommen ich allerdinge ein Problem mit der Existenz von $\overline{x} $ mit $ x \vee \overline{x}=1$ , also bei $sup(\{ x, \overline{x} \})=a $, Da a ja laut Definition die untere Schranke des Verbandes ist.
Kann mir hierbei bitte jemand helfen und sagen wo der Denkfehler liegt?
Habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Gruss jessi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:51 Do 24.11.2011 | | Autor: | hippias |
> Sei [mm](B,\wedge,\vee)[/mm] ein Boolescher Verband. Seien ferner
> a,b Elemente in B mit [mm]a \preceq b[/mm]. Zeigen Sie: [mm](\{x \in B | a \preceq x \preceq b},\wedge, \vee\})[/mm]
> ist ebenfalls ein Boolescher Verband.
> Laut dem zugehörigen Script sind [mm]x \wedge y = inf(\{x,y\})[/mm]
> und [mm]x \vee y=sup(\{x,y\})[/mm] Um zu zeigen, dass oben genannate
> Konstruktion ein Boolescher Verband ist muss ich laut
> Script Neutralität, Extremalgesetze, Eindeutigkeit und
> Existenz des komplementären Elements zeigen.
>
> Bei den Beweisschritten für Extremalgesetze und
> Neutralität kommt heraus, dass das Neutrale Element
> bezüglich [mm]x\wedge1=x[/mm] mit [mm]1=a[/mm] funktioniert.
Es ist doch [mm] $x\wedge [/mm] a= [mm] inf\{x,a\}= [/mm] a$ i.a. [mm] $\neq [/mm] x$, wegen [mm] $a\preceq [/mm] x$.
>
> Beim weiteren Beweisschritt bekommen ich allerdinge ein
> Problem mit der Existenz von [mm]\overline{x}[/mm] mit [mm]x \vee \overline{x}=1[/mm]
> , also bei [mm]sup(\{ x, \overline{x} \})=a [/mm], Da a ja laut
> Definition die untere Schranke des Verbandes ist.
>
> Kann mir hierbei bitte jemand helfen und sagen wo der
> Denkfehler liegt?
> Habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
> Gruss jessi
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