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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Mo 06.07.2009 | | Autor: | Yuumura |
| Aufgabe | | [mm] y^2 [/mm] = [mm] x^3 [/mm] x€[0,1] |
So ich habe die wurzel gezogen und erhalte y = [mm] x^\bruch{3}{2}
[/mm]
Natürlich + und - wegen der Wurzel - Wie lautet die mathematisch korrekte Begründung dass ich nur die + Version verwende ?
Nun jedenfalls habe ich dann weiter gerechnet mit der formel
[mm] \integral_{0}^{1}{ f(x) = \wurzel{ 1 + (f ' (x))^2 } } [/mm] dx
Soweit so gut, nur habe ich dann einen Term in der wurzel und im integral 1 + [mm] \bruch{9}{4} [/mm] x...
Wenn ich die X weglassen würde und einfach zusammenzählen würde hätte ich [mm] \wurzel{13} [/mm] / 2..... was auch das richtige ergebniss wäre.
Aber ich kann ja schlecht das x ignorieren, die zahlen zusammenzählen und später das x wieder auftauchen lassen ^^
Meine Frage ist, wie man das mathematisch korrekt aufschreibt ? Unsere Lehrerin hat was von Subsitution gemurmelt aber keine Ahnung wie ich das machen soll...
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> $\ [mm] y^2=x^3\qquad x\in[0,1]$
[/mm]
> So ich habe die wurzel gezogen und erhalte [mm] y=x^\bruch{3}{2}
[/mm]
>
> Natürlich + und - wegen der Wurzel - Wie lautet die
> mathematisch korrekte Begründung dass ich nur die +
> Version verwende ?
Die gesamte Kurve besteht aus zwei
zueinander symmetrischen Teilstücken.
Zeichne dir doch das mal auf !
Für die Bogenlängenberechnung kannst
du den einen Teil nehmen und dann das
Ergebnis verdoppeln.
> Nun jedenfalls habe ich dann weiter gerechnet
> mit der formel
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\red{ f(x) =} \wurzel{ 1 + (f ' (x))^2 } }[/mm] dx
Das rot markierte hat im Integral nichts zu suchen !
> Soweit so gut, nur habe ich dann einen Term in der wurzel
> und im integral 1 + [mm]\bruch{9}{4}[/mm] x...
>
> Wenn ich die X weglassen würde und einfach zusammenzählen
> würde hätte ich [mm]\wurzel{13}[/mm] / 2..... was auch das
> richtige ergebniss wäre.
Einfach so irgendwie hingezaubert ?
Vielleicht hast du ja auch schon gemerkt,
dass Mathe nicht so funktioniert, obwohl
es manchmal fast so aussieht.
> Aber ich kann ja schlecht das x ignorieren, die zahlen
> zusammenzählen und später das x wieder auftauchen lassen
... und vor allem überhaupt nichts integrieren
> Meine Frage ist, wie man das mathematisch korrekt
> aufschreibt ? Unsere Lehrerin hat was von Subsitution
> gemurmelt aber keine Ahnung wie ich das machen soll...
Setze [mm] u:=1+\bruch{9}{4}\,x [/mm] . Dann gilt:
[mm] u'=\bruch{du}{dx}\,=\,\bruch{9}{4} [/mm] , also [mm] dx=\bruch{4}{9} [/mm] du
Nun ersetzt (substituierst) du alles im
Integral durch die Terme mit u und du
(auch überlegen, was mit den Grenzen
0 und 1 geschieht !). Das neue Integral
sollte leicht zu bewältigen sein.
LG Al-Chw.
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