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| Aufgabe | | Seien A,B,C und D vier nxn-Matrizen, so dass A invertierbar ist und AC=CA gilt. Zeige, dass dann [mm] det\pmat{ A & B \\ C & D }=det(AD-CB) [/mm] gilt. Finde außerdem ein Gegenbeispiel, welches belegt, dass auf die Voraussetzung AC=CA nicht verzichtet werden kann. |
Hallo Leute,
mal wieder ein "Determinantenproblem". Den ersten Teil der Aufgabe habe ich, ich finde nur dieses doofe Gegenbeispiel nicht. Hab schon tausend Sachen ausprobiert. Fallen jemandem spontan Matrizen ein, für die das gilt? Bin für jede Hilfe dankbar. Habe alles probiert, auch mit Nullmatrizen und [mm] C=A^{-1}, [/mm] aber entweder stimmt [mm] AC\not=CA [/mm] nicht oder die Determinanten sind gleich.
Viele Grüße
Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:39 Sa 26.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Daniel
> Seien A,B,C und D vier nxn-Matrizen, so dass A invertierbar
> ist und AC=CA gilt. Zeige, dass dann [mm]det\pmat{ A & B \\ C & D }=det(AD-CB)[/mm]
> gilt. Finde außerdem ein Gegenbeispiel, welches belegt,
> dass auf die Voraussetzung AC=CA nicht verzichtet werden
> kann.
>
> Hallo Leute,
>
> mal wieder ein "Determinantenproblem". Den ersten Teil der
> Aufgabe habe ich, ich finde nur dieses doofe Gegenbeispiel
> nicht. Hab schon tausend Sachen ausprobiert. Fallen
> jemandem spontan Matrizen ein, für die das gilt? Bin für
> jede Hilfe dankbar. Habe alles probiert, auch mit
> Nullmatrizen und [mm]C=A^{-1},[/mm] aber entweder stimmt [mm]AC\not=CA[/mm]
> nicht oder die Determinanten sind gleich.
Was meinst du damit? Wenn $C = [mm] A^{-1}$ [/mm] ist, dann gilt natuerlich $A C = C A$. Und wenn eine der Matrizen 0 ist, sind die Determinanten sowieso gleich.
Wenn du den ersten Teil der Aufgabe geloest hast, hast du schon genug Ruestzeug um mehr Infos fuer den zweiten Teil zu bekommen. Du kannst das ganze naemlich so umformen, dass du siehst, dass die Determinanten genau dann gleich sind, wenn [mm] $\det(D [/mm] - C [mm] A^{-1} [/mm] B) = det(D - [mm] A^{-1} [/mm] C B)$ ist. Wenn du jetztz $B = [mm] E_n$ [/mm] waehlst, kommst du auf [mm] $\det(D [/mm] - C [mm] A^{-1}) [/mm] = [mm] \det(D [/mm] - [mm] A^{-1} [/mm] C)$.
Wenn du also $C$ und [mm] $A^{-1}$ [/mm] so waehlst, dass sie nicht kommutieren, kannst du vielleicht $D$ so waehlen, dass die Matrix in der einen Determinante nicht invertierbar ist, in der anderen aber schon. Also such erstmal $A$ und $C$ so dass $A$ und $C$ nicht kommutieren und guck ob du ein passendes $D$ finden kannst.
Und wenn nicht, dann schreib etwas mehr Details hier hin.
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 Sa 26.04.2008 | | Autor: | laryllan |
Aloha hé,
so wie ich das sehe, genügt es ja quasi ein Gegenbeispiel zu finden... egal für welches n (also egal wie groß die quadratischen Mattritzen sind).
Wenn ich jetzt n = 2 wähle, könnte ich nehmen:
[tex] A = \begin{pmatrix}
0 & \alpha \\
\bruch{1}{ \alpha } & 0
\end{pmatrix} [/tex]
und
[tex] C = \begin{pmatrix}
\alpha & 0 \\
0 & \bruch{1}{ \alpha }
\end{pmatrix} [/tex]
Die Matritzen haben auf jeden Fall für [tex] \alpha \ne 0 [/tex] vollen Rang, nämlich zwei.
Wenn ich die beiden miteinander multipliziere erhalte ich:
[tex] AC = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix} [/tex]
bzw.
[tex] CA = \begin{pmatrix}
0 & \alpha^{2} \\
\bruch{1}{ \alpha^{2} } & 0
\end{pmatrix} [/tex]
Und das ist sicherlich nicht gleich...
Kann man das so machen? Oder muss man dafür dann so einen "Ausnahmefall" für alle möglichen n allgemein angeben?
Namárie,
sagt ein Lary, wo sich da nicht so sicher ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 Sa 26.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Lary,
> so wie ich das sehe, genügt es ja quasi ein Gegenbeispiel
> zu finden... egal für welches n (also egal wie groß die
> quadratischen Mattritzen sind).
genau.
> Wenn ich jetzt n = 2 wähle, könnte ich nehmen:
>
>
> [tex]A = \begin{pmatrix}
> 0 & \alpha \\
> \bruch{1}{ \alpha } & 0
> \end{pmatrix}[/tex]
>
> und
>
> [tex]C = \begin{pmatrix}
> \alpha & 0 \\
> 0 & \bruch{1}{ \alpha }
> \end{pmatrix}[/tex]
>
> Die Matritzen haben auf jeden Fall für [tex]\alpha \ne 0[/tex] vollen
> Rang, nämlich zwei.
>
> Wenn ich die beiden miteinander multipliziere erhalte ich:
>
> [tex]AC = \begin{pmatrix}
> 0 & 1 \\
> 1 & 0
> \end{pmatrix}[/tex]
>
> bzw.
>
> [tex]CA = \begin{pmatrix}
> 0 & \alpha^{2} \\
> \bruch{1}{ \alpha^{2} } & 0
> \end{pmatrix} [/tex]
>
> Und das ist sicherlich nicht gleich...
Genau. Dann musst du allerdings noch $D$ passend waehlen (wenn $B = [mm] E_2$) [/mm] ist, dann liefert dies ein Beispiel.
> Kann man das so machen? Oder muss man dafür dann so einen
> "Ausnahmefall" für alle möglichen n allgemein angeben?
Muss man nicht, allerdings laesst sich hierraus sofort ein allgemeines Beispiel konstruieren, indem man $A$, $B$, $C$ und $D$ als oberen linken Block in Blockdiagonalmatrizen $A', B', C', D'$ einbettet und den unteren rechten Block als Einheitsmatrix (bei $A', B', C'$) bzw. Nullmatrix (bei $D'$) waehlt.
LG Felix
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Hallo Felix,
das ist mir jetzt soweit klar. Und wenn ich dann das D gefunden habe, wie berechnet man denn dann [mm] det\pmat{ A& B \\ C & D } [/mm] ?? Das ist doch keine Dreiecksmatrix. Muss ich dann sowas wie Laplace oder Leibnitz machen bzw. darf ich das überhaupt, wenn die Einträge der Matrix Matrizen sind?
Grüße, Daniel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Sa 26.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Daniel
> das ist mir jetzt soweit klar. Und wenn ich dann das D
> gefunden habe, wie berechnet man denn dann [mm]det\pmat{ A& B \\ C & D }[/mm]
> ?? Das ist doch keine Dreiecksmatrix.
du machst das genauso wie du bewiesen hast dass die Determinante davon (im Fall $A C = C A$) gleich [mm] $\det(A [/mm] D - C B)$ ist. Du multiplizierst mit passenden invertierbaren Blockdreiecksmatrizen von links (oder rechts) und fuehrst das ganze auf eine Blockdreiecksmatrix zurueck.
Du kannst (bzw. hast das bereits getan) uebrigens auch allgemein zeigen, dass [mm] $\det \pmat{ A & B \\ C & D} [/mm] = [mm] \det [/mm] A [mm] \cdot \det [/mm] (D - C [mm] A^{-1} [/mm] B)$ ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Sa 26.04.2008 | | Autor: | laryllan |
Aloha hé,
was mich beim Überblicken der Aufgabe stört, ist die Frage der Matrixgröße...
Wenn [tex] A, B, C, D [/tex] nach Voraussetzung [tex] n x n [/tex] -Matritzen sind, dann ist doch [tex] \pmat{ A & B \\ C & D } [/tex] eine [tex] 2n x 2n [/tex]-Matrix oder? Die Gleichung [tex] det \pmat{ A & B \\ C & D } = det (AD - CB ) [/tex] wird ja nur dann was, wenn das mit der Größe irgendwie hinhaut.
So wie Felix das meinte, mit dem "Auffüllen" hieße das ja, dass ich die Matrix [tex] \pmat{ A & B \\ C & D } [/tex] irgendwie in die Form [tex] \pmat{ E_{n} & B \\ 0_{n} & AD-CB } [/tex] bringen muss.
Ich hätte mir das irgendwie so vorgestellt, dass man quasi Gauß-Umformungen macht, allerdings halt mit Matritzen. irgendwie sowas:
[tex] \pmat{ A & B \\ C & D } \gdw \pmat{ A & B \\ 0_{n} & D-A^{-1}CB } \gdw \pmat{ A & B \\ 0_{n} & AD-E_{n}CB } \gdw \pmat{ E_{n} & A^{-1}B \\ 0_{n} & AD-CB } [/tex].
Irgendwie hab ich das Gefühl, dass ich es mir das gerade viel zu einfach mache. Ginge das denn so? Oder muss ich, um diese Umformungsschritte leisten zu können mit die Ausgangsmatrix mit Matritzen mit [tex] det = 1 [/tex] multiplizieren, damit ich dann den Multiplikationssatz für Determinanten nutzen kann?
Namárie,
sagt ein Lary, wo die Aufgabe interessant aber verwirrend findet.
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Hallo Bodo,
das zu zeigende folgt direkt aus folgender Multiplikation:
[mm] \pmat{ A & B \\ C & D }=\pmat{ A & 0 \\ C & D-CA^{-1}B }*\pmat{ E & A^{-1}B \\ 0 & E }.
[/mm]
Warum gilt das? Überlege dir, wie man die Matrizen multiplizieren könnte!
Viele Grüße
Daniel
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