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Bitte um Korrektur: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:40 Mi 20.01.2010
Autor: Gopal

Aufgabe
Zu gegebenen Zahlen [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_2 [/mm] sei eine Folge [mm] (a_n) [/mm] durch [mm] a_{n-2}=1/2(a_{n+1}+a_n) [/mm] definiert.

(a) Bestätigen Sie [mm] a_{n+2}-a_{n+1}=(-1/2)^n(a_2-a_1) [/mm]
(b) Bestimmen Sie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] in Abhänigkeit von [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2 [/mm]

Hallo,

ich bearbeite gerade einige Aufgaben als Prüfungsvorbereitung und hätte gerne etwas feedback, ob das so passt, was ich mir hier zusammenreime.

Also a) war kein Problem mittels Induktion.
zu b) hab ich:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\limes_{n\rightarrow\infty}a_2+\summe_{i=3}^{n}(-1/2)^i (a_2-a_1) [/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_2+(a_2-a_1)\summe_{i=3}^{n}(-1/2)^i [/mm]
[mm] =a_2+(a_2-a_1)\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}+\summe_{i=1}^{n}(-1/2)^i [/mm]
[mm] =a_2+(a_2-a_1)(\bruch {1}{1+\bruch{1}{2}}+\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}) [/mm]

ich bin mir unsicher wegen des summationsindexes.






        
Bezug
Bitte um Korrektur: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 07:52 Do 21.01.2010
Autor: Gopal

der limes der geometrischen reihe ist ja für [mm] \summe_{i=0}^{n}(-\bruch {1}{2})^i [/mm] definiert. also müsste ich den Index von 3 auf null verschieben, also noch eine 1 abziehen. also für [mm] n\ge3: [/mm]

[mm] a_n=a_2+\summe_{i=3}^{n}((-\bruch {1}{2})^i (a_2-a_1))=(a_2-a_1)(-1+\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}+\summe_{i=0}^{n}(-\bruch {1}{2})^i) [/mm]


richtig?


> Zu gegebenen Zahlen [mm]a_{1}[/mm] und [mm]a_2[/mm] sei eine Folge [mm](a_n)[/mm]

> durch [mm]a_{n-2}=1/2(a_{n+1}+a_n)[/mm] definiert.
>  
> (a) Bestätigen Sie [mm]a_{n+2}-a_{n+1}=(-1/2)^n(a_2-a_1)[/mm]
>  (b) Bestimmen Sie [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n[/mm] in
> Abhänigkeit von [mm]a_1[/mm] und [mm]a_2[/mm]

>  Hallo,
>  
> ich bearbeite gerade einige Aufgaben als
> Prüfungsvorbereitung und hätte gerne etwas feedback, ob
> das so passt, was ich mir hier zusammenreime.
>  
> Also a) war kein Problem mittels Induktion.
>  zu b) hab ich:
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\limes_{n\rightarrow\infty}a_2+\summe_{i=3}^{n}(-1/2)^i (a_2-a_1)[/mm]
>  
> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_2+(a_2-a_1)\summe_{i=3}^{n}(-1/2)^i[/mm]
>  
> [mm]=a_2+(a_2-a_1)\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}+\summe_{i=1}^{n}(-1/2)^i[/mm]
> [mm]=a_2+(a_2-a_1)(\bruch {1}{1+\bruch{1}{2}}+\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4})[/mm]
>  
> ich bin mir unsicher wegen des summationsindexes.
>  







  


Bezug
                
Bezug
Bitte um Korrektur: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:20 Sa 23.01.2010
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Bitte um Korrektur: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:20 Fr 22.01.2010
Autor: Gauss

Hallo,

> Zu gegebenen Zahlen [mm]a_{1}[/mm] und [mm]a_2[/mm] sei eine Folge [mm](a_n)[/mm]
> durch [mm]a_{n-2}=1/2(a_{n+1}+a_n)[/mm] definiert.

Ich nehme an, du meinst: [mm]a_{n+2}=1/2(a_{n+1}+a_n)[/mm]

> (a) Bestätigen Sie [mm]a_{n+2}-a_{n+1}=(-1/2)^n(a_2-a_1)[/mm]
>  (b) Bestimmen Sie [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n[/mm] in
> Abhänigkeit von [mm]a_1[/mm] und [mm]a_2[/mm]
>  Hallo,
>  
> ich bearbeite gerade einige Aufgaben als
> Prüfungsvorbereitung und hätte gerne etwas feedback, ob
> das so passt, was ich mir hier zusammenreime.
>  
> Also a) war kein Problem mittels Induktion.
>  zu b) hab ich:
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\limes_{n\rightarrow\infty}a_2+\summe_{i=3}^{n}(-1/2)^i (a_2-a_1)[/mm]

Da [mm]a_{n+2}-a_{n+1}=(-1/2)^n(a_2-a_1)[/mm] gilt:
[mm]a_{n}=a_{n-1}+(-\bruch{1}{2})^{n-2}(a_{2}-a_{1})[/mm]
und damit:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\limes_{n\rightarrow\infty}a_2+\summe_{i=1}^{n}(-1/2)^i (a_2-a_1)[/mm]

Gruß, Gauss

> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_2+(a_2-a_1)\summe_{i=3}^{n}(-1/2)^i[/mm]
>  
> [mm]=a_2+(a_2-a_1)\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}+\summe_{i=1}^{n}(-1/2)^i[/mm]
> [mm]=a_2+(a_2-a_1)(\bruch {1}{1+\bruch{1}{2}}+\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4})[/mm]
>  
> ich bin mir unsicher wegen des summationsindexes.
>  
>
>
>
>  


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