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| Aufgabe 1 | Aufgabe 1
a) Für jedes t> 0 mit [mm] t\not= [/mm] 1100 ist eine Funktion [mm] h_{t} [/mm] gegeben durch
[mm] h_{t}= (x^2-100x-t)/(x*(x-110))
[/mm]
Bestimmen Sie die Definitionsmenge von [mm] h_{t} [/mm] sowie die waagerechte Asymptote von [mm] C_{t}. [/mm] Zeigen Sie, dass jedes Schaubild [mm] C_{t} [/mm] zwei Schnittpunkte mit der x-Achse besitzt. Für welches [mm] t_{1} [/mm] geht die zugehörige Kurve durch den Punkt P (75/92)?
Ermitteln Sie eine natürliche Zahl [mm] t_{2}, [/mm] bei welcher der Inhalt der Fläche zwischen der zugehörigen Kurve, der x-Achse und den Geraden x=10 und x =100 etwa 150,92 FE beträgt. |
| Aufgabe 2 | c) Für jedes k>0 ist eine Funktion [mm] g_{k} [/mm] gegeben durch
[mm] g_{k}= (100x^2-9950x-57750)/(x*(x-110))*(x-k) [/mm] 0<x<110
Eine Firma verwendet den Term zur Berechnung ihres Gesamtgewinns, wobei sie k als Herstellungskosten und x als Verkaufspreis eines Taschenrechners ansetzt. Erläutern sie das Zustandekommen des Terms. Bestimmen Sie bei angenommenen Herstellungskosten von 17Euro pro Taschenrechner einen Nährungswert für den Verkaufspreis eines Taschenrechners, bei dem der Gesamtgewinn der Firma maximal ist.
Geben Sie den maximalen Gesamtgewinn an.
In welchem bereich liegen die optimalen Verkaufspreise eines Taschenrechners und die zugehörigen maximalen Gesamtgewinne, wenn sich die Herstellungskosten zwischen 17 und 27 Euro bewegen? |
Hallo erstmal,
ich habe diese Aufgaben gelöst, aber bin mir bei einigen Sachen nicht ganz sicher. Wäre euch sehr dankbar, wenn einer mal drüber sehen könnte, ob es so richtig ist.
danke
liebe grüße
Aufgabe 1
a) [mm] D_{f}: [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] , x [mm] \not= [/mm] 0, x [mm] \not= [/mm] 110
[mm] h_{t}= (x^2-100x-t)/(x*(x-110))
[/mm]
0 [mm] =(x^2-100x-t)/(x*(x-110))
[/mm]
[mm] x_{1}= -\wurzel{t+2500}+50
[/mm]
[mm] x_{2}= \wurzel{t+2500}+50
[/mm]
Da t>0 ist, hat jedes Schaubild 2 Schnittpunkte mit der x-Achse: [mm] S_{1} (-\wurzel{t+2500}+50 [/mm] /0)
[mm] S_{2} (\wurzel{t+2500}+50 [/mm] / 0)
Leider komme ich nicht wirklich auf die waagerechte Asymptote :(
für P (75/92):
92= [mm] (75^2-100*75-t)/(75*(75-110))
[/mm]
[mm] t_{1} [/mm] = 239625
für die Fläche A = 150,92:
[mm] \integral_{10}^{100}{(x^2-100x-t)/(x*(x-110))dx} [/mm] = 150,92
(nach Umstellen mit CAS) => t = -1599,76
Aufgabe c)
[mm] g_{k}= (100x^2-9950x-57750)/(x*(x-110))*(x-k)
[/mm]
Erläuterung zum Zustandekommen des Terms:
(x-k) => Gewinn pro Taschenrechner (Umsatz)
[mm] g_{k}= (100x^2-9950x-57750)/(x*(x-110)) [/mm] * (x-k) => Anzahl der verkauften Taschenrechner
=> [mm] g_{k} [/mm] ist Gesamtgewinn
für Herstellungskosten k =17
[mm] g_{17}= (100x^2-9950x-57750)/(x*(x-110)) [/mm] * (x-17)
dann habe ich g abgeleitet (der Gesamtgewinn soll ja maximal werden)
g'(x) = [mm] (100(x^4-220*x^3+11701*x^2-19635x+10))/(x^2*(x-110)^2)
[/mm]
g'(x) = 0
[mm] x_{1}= [/mm] 88,03
[mm] x_{2}= [/mm] 132,04
=> Verkaufspreis für Taschenrechner
max. Gesamtgewinn g(88,03) = 5829,27
g(132,04)= 14159,3
Das gleiche mache ich für k=27 und erhalte
[mm] x_{1}= [/mm] 89,3084
[mm] x_{2}= [/mm] 130,789
max. Gesamtgewinn g(130,789) = 13416
Die optimalen Verkaufspreise liegen zwischen 88 und 132 Euro.
Bei der letzten Aufgaben mit k = 17 und k = 27 bin ich wirklich sehr unsicher und befürchte das dies falsch ist, aber ich habe es schon hundertmal durch gerechnet und es kommt immer dasselbe raus :(
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hallo,
bei der senkrechten Asymptote musst du den ersten Teil, also [mm] x^2-100x-t [/mm] durch den zweiten Teil [mm] x^2 [/mm] -100 dividieren und dann kommt man auf das Ergebnis [mm] 1+t/x^2 [/mm] -100.
Lg Bienchen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:53 Di 03.03.2009 | | Autor: | searchgirl |
Hallo ihr beiden,
danke schonmal für eure Antworten. Bei der Asymptote habe ich das gleiche raus.
Hoffe nur das die zweite Aufgabe auch einigermaßen richtig ist.
glg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Di 03.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Rechnung fuer 2 scheint richtig. aber die Vorrausetzung war doch x<110.
es bleiben also nur die 88 bzw 89 eigentlich musst du noch nachpruefen, ob da wirklich ein max vorliegt. hier am besten nicht durch die 2te ableitung, sondern indem du 2 benachbarte Werte ausrechnest (z. Bsp 87 und 89) wenn die kleiner sind ist ein Max, wenn sie groesser sind ein Min.)
Wenn du wirklich 88 bis 132 haettest waere das schlecht, denn bie x=105 ist eine Nullstelle der ersten Klammer, danach wirds erstmal negativer Gewinn.
Du musst bei so realen Aufgaben auch immer die Raender des Def.Gebietes ansehen, ob da z. Bsp der Gewinn groesser ist.
Hier also bei x in der Naehe von 0 und von 110.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:47 Di 03.03.2009 | | Autor: | searchgirl |
Hey Leduart,
vielen Dank für deine Antwort. Ich habe vor lauter Rechnen wirklich den Definitionsbereich vergessen - aber dadurch wird mir jetzt vieles klar.
Danke nochmal
liebe grüße
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