Biot-Savart < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein langer Stromdurchflossener Leiter (Strom I) liegt wie in der Abbildung dargestellt in der (x,y)-Ebene. Die z-Achse soll aus der Papiereben herauszeigen. Berechnen Sie aus dem Biot-Savartschen Gesetz die magnetische Flussdichte [mm]B[/mm] im Koordinatenursprung.
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo,
ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum gestellt.
Rein prinzipiell finde ich die Aufgabe nicht sonderlich schwer. Mein Ergebnis kann nur nicht stimmen. Erst mal, was ich gerechnet habe:
[mm]\begin{matrix} \vec B \left( \vec r \right) &=& \mu_0 \bruch{I}{4 \pi} \left[ \integral_{-\infty}^{b} \bruch{\begin{pmatrix} dx \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -x \\ -a \\ 0 \end{pmatrix}}{\wurzel{x^2 + a^2}^3}\ + \integral_{a}^{-a} \bruch{\begin{pmatrix} 0 \\ -dy \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -b \\ -y \\ 0 \end{pmatrix}}{\wurzel{b^2 + y^2}^3}\ + \integral_{b}^{-\infty} \bruch{\begin{pmatrix} -dx \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -x \\ a \\ 0 \end{pmatrix}}{\wurzel{x^2 + a^2}^3}\ \right] \\
\ &=& \mu_0 \bruch{I}{4 \pi} \left[ \integral_{-\infty}^{b} \bruch{-adx}{\wurzel{x^2 + a^2}^3}\ + \integral_{a}^{-a} \bruch{-bdy}{\wurzel{b^2 + y^2}^3}\ + \integral_{b}^{-\infty} \bruch{-adx}{\wurzel{x^2 + a^2}^3}\ \right]\hat e_z \\
\ &=& \mu_0 \bruch{I}{4 \pi} \left[ \integral_{a}^{-a} \bruch{-bdy}{\wurzel{b^2 + y^2}^3}\ \right]\hat e_z \\
\ &=& \mu_0 \bruch{-bI}{4 \pi} \left[ \bruch{y}{b^2 * \wurzel{b^2 + y^2}} \right]_a ^{-a} \hat e_z \\
\ &=& \mu_0 \bruch{2aI}{4 \pi b \wurzel{b^2 + a^2}} \hat e_z \end{matrix}[/mm]
Nachdem ich zuerst sichtlich zufrieden mit diesem Ergebnis war, ist mir aufgefallen, dass das an 2 Punkten aber physikalisch keinen Sinn macht: Der komplette Leiter liefert mit der rechte Hand Regel Beiträge in negative z-Richtung. Also können sich 1. nicht das erste und das letzte der 3 Integrale gegenseitig wegheben und 2. muss das Endergebnis in negative z-Richtung zeigen. Ich weiß nur nicht, wo genau ich die Vorzeichenfehler gemacht habe. Der jeweils rechte Vektor des Kreuzproduktes zeigt immer vom Leiterelement auf den Ursprung, wie er es soll und die Integrationsgrenzen "laufen in Stromrichtung". Rein vom Ergebnis hätte ich eine heile Welt, wenn ich meine Differentiale nie mit negativen Vorzeichen versehen würde, aber ich dachte man müsse denen schon die Richtung des Stromflusses geben, damit alles stimmt... wo hab ich jetzt meinen Fehler gemacht?
Da mein Problem irgendwie doch grundlegender Natur ist im Bezug auf korrekte Integration von solchen Linienintegralen, wäre ich euch dankbar, wenn ihr mir erklären könntet, welche Gedanken man sich zur Vorzeichenwahl machen muss, um zum richtigen Ergebnis zu kommen. Ich fände es nämlich doof, wenn sich hier bei mir ein grundsätzlicher Fehler einschleift.
Vielen Danke und lieben Gruß
Edit: PS.: Die einzige Überlegung, die ich hierzu hatte, war, dass die Wahl, was Ober- und was Untergrenze bei der Integration ist, bestimmt, in welche Richtung das Differential zeigt, so dass ich die Vorzeichen an den Differential selber weglassen muss... aber ich bin mir nicht sicher, ob das die richtige Erklärung ist
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 Sa 06.12.2008 | | Autor: | Doing |
hallo,
ich hab jetzt bloß kurz mal rübergeschaut, und steig durch deine rechnung nicht wirklich durch. also vor allem solltest du dir die integrale mal genauer ansehen.
beste grüße
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Hallo,
hier also etwas ausführlicher erklärt, wie mein Integral gedacht war:
Der erste Teil ist einfach die Definition vom Biot-Savart auf mein Problem angewandt. Also noch mal kurz der Biot Savart:
[mm]\vec B_2 \left( \vec r_1 \right) &=& \mu_0 \bruch{I_2}{4 \pi} \oint_{C(Leiter)} \bruch{\vec dr_2 \times \vec r_{12} }{r_{12}^3} [/mm]
Wobei [mm]B_2 \left( \vec r_1 \right)[/mm] die Magnetische Flussdichte am Ort [mm]\vec r_1[/mm] ist, [mm]\vec dr_2[/mm] das Differential entlang dem Leiter, der vom Strom [mm]I_2[/mm] durchflossen wird und der Vektor [mm]\vec r_{12}[/mm] mit dem Betrag [mm]r_{12}[/mm] derjenige ist, der vom Leiterelement auf den Ort zeigt, an dem man die magnetische Flussdichte kennen möchte.
Dann habe ich das Integral in 3 Teile geteilt (ähnlich wie Caesar das mit Gallien gemacht hat): Einmal parallel zur x-Achse oben entlang von links nach rechts, dann die Strecke runterwärts und zuguter letzt von der Ecke rechts unten wieder parallel zur x-Achse in die minus Unendlichkeit (der Weg sollte mit der Zeichnung von oben klar sein). Und genau das sind auch die 3 Summanden, die ich oben in mein Integral geschrieben habe. Die Auswertung vom Integral selbst ist dann nur noch Routine: Kreuzprodukt ausgerechnet, wobei jeweils nur eine z-Komponente erhalten bleibt, dann fällt durch scharfes hinsehen auf, dass die beiden Integrale parallel zur x-Achse sich gegenseitig vernichten und das übrigbleibende Integral hab ich schlussendlich mit Integraltafel gelöst...
Ist damit mein Vorgehen klar? Was ich mir jetzt genauer ansehen soll, weiß ich leider nicht. Ich denke, dass ich das Integral richtig ausgewertet habe. Mein Fehler wird irgendwo bei den Vorzeichen liegen. Die Überlegung, die ich zum Schluss noch in mein PS geschrieben habe, denke ich trifft zu, da dann ein physikalisch viel einleuchtenderes Ergebnis rauskommt (was mir aber nebenbei gesagt in einer anderen Teilaufgabe wieder Schwierigkeiten bereitet, da dann etwas rauskommt, was nicht mit meinem Verständnis übereinstimmt, aber dazu vielleicht später mehr), aber ich komme halt nicht mathematisch auf vernünftige Argumente dafür...
hier übrigens dann noch mal mein Ergebnis, allerdings ohne die detailierte Auflistung meiner konkreten Auswertung vom Integral:
[mm]\begin{matrix} \vec B \left( \vec r \right) &=& \mu_0 \bruch{I}{4 \pi} \left[ \integral_{-\infty}^{b} \bruch{\begin{pmatrix} dx \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -x \\ -a \\ 0 \end{pmatrix}}{\wurzel{x^2 + a^2}^3}\ + \integral_{a}^{-a} \bruch{\begin{pmatrix} 0 \\ dy \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -b \\ -y \\ 0 \end{pmatrix}}{\wurzel{b^2 + y^2}^3}\ + \integral_{b}^{-\infty} \bruch{\begin{pmatrix} dx \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -x \\ a \\ 0 \end{pmatrix}}{\wurzel{x^2 + a^2}^3}\ \right] \\ \ &=& - \mu_0 \bruch{I}{2 \pi} \left( \bruch{a^2 + b^2}{ab \wurzel{a^2 + b^2}} - \bruch{1}{a} \right) \hat e_z \end{matrix}[/mm]
Damit auch der Unterschied zu meiner ersten Variante noch mal klar wird: ich hab jetzt die negativen Vorzeichen an den [mm]dx[/mm] und [mm]dy[/mm] weggelassen.
Und da ich jetzt eh schon einen halben Roman geschrieben habe gleich noch mal das Problem, was mit diesem Ergebnis auftritt: lässt man den Abstand [mm]b[/mm] gegen unendlich gehen, so wird die magnetische Flussdichte im Ursprung 0. Das deckt sich aber auch nicht mit meiner Überlegung, dass man grundlegend nur Beiträge hat, die in die negative z-Richtung zeigen.
So, jetzt aber genug geschrieben. Ich danke euch wieder für eure Bemühungen!
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