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| Aufgabe | Zeigen Sie:
n + n + ... + n = 2 ^n
0 1 n
(n über 0 + n über 1 ... + n über n) |
Und dann die b)
Zeigen Sie:
2n+1 + 2n+1 + ... + 2n+1 = 4 ^n
0 1 n
Ich habe da ehrlich gesagt gar keine Ahnung wie ich da ran gehen soll...
Danke.
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Hallo Stephan,
bei Teilaufgabe (a) geht's ganz schnell, wenn du [mm] $2^n$ [/mm] mal etwas anders schreibst als
[mm] $(1+1)^n$ [/mm] und dann mal den binomischen Lehrsatz drauf loslässt...
Kurze Rückfrage zu (b):
ist diese Behauptung gemeint?:
[mm] $\vektor{2n+1\\0}+\vektor{2n+1\\1}+ [/mm] .... + [mm] \vektor{2n+1\\n-1}+\vektor{2n+1\\n}=4^n$?
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:32 Do 07.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
Aufgabe a) steht ja schon da (wenn der bin. Lehrsatz noch nicht bekannt sein sollte, musst Du halt alles per Indutkion zeigen).
Aufgabe b) folgt im wesentlichen dann aus Teil a), denn mit a) gilt:
[mm] $4^n=(2^2)^n=2^{2n}=\frac{1}{2}*2^{2n+1}=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{2n+1} [/mm] {2n+1 [mm] \choose [/mm] k}$
Und bei [mm] $\sum_{k=0}^{2n+1}...$ [/mm] tauchen ja $2n+2$ Summanden auf, dann schreibe [mm] $\sum_{k=0}^{2n+1}...=\sum_{k=0}^n... +\sum_{k=n+1}^{2n+1}...$
[/mm]
Danach beachte, dass
[mm] $(\*)$ [/mm] ${2n+1 [mm] \choose [/mm] k}={2n+1 [mm] \choose [/mm] 2n+1-k}$ für $k=0,...,2n+1$
Weiterhin mit $m:=k-n$ in der zweiten Summe:
[mm] $\sum_{k=0}^{2n+1} [/mm] {2n+1 [mm] \choose k}=\sum_{k=0}^n [/mm] {2n+1 [mm] \choose [/mm] k} [mm] +\sum_{k=n+1}^{2n+1} [/mm] {2n+1 [mm] \choose k}=\sum_{k=0}^n [/mm] {2n+1 [mm] \choose [/mm] k}+ [mm] \sum_{m=1}^{n+1} [/mm] {2n+1 [mm] \choose [/mm] n+m}$
Und wegen des Kommutativgesetzes der Addition folgt:
[mm] $\sum_{m=1}^{n+1} [/mm] {2n+1 [mm] \choose n+m}=\sum_{k=0}^{n} [/mm] {2n+1 [mm] \choose [/mm] 2n+1-k}$
(Zur Übersicht:
Dort steht nichts anderes als sowas wie:
[mm] $\sum_{m=1}^{n+1} a_{n+m}=\sum_{k=0}^n a_{2n+1-k}$, [/mm] also ausgeschrieben:
[mm] $a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{\underbrace{n+n+1}_{=2n+1}}=a_{2n+1}+a_{2n}+...+a_{\underbrace{2n+1-n}_{=n+1}}$, [/mm]
also
[mm] $a_{n+1}+a_{n+2}+...+a_{2n+1}=a_{2n+1}+a_{2n}+...+a_{n+2}+a_{n+1}$ [/mm] .)
Damit:
[mm] $\sum_{k=0}^{2n+1} [/mm] {2n+1 [mm] \choose k}=\sum_{k=0}^n [/mm] {2n+1 [mm] \choose k}+\sum_{k=0}^{n} [/mm] {2n+1 [mm] \choose [/mm] 2n+1-k}$
Nun benutze [mm] $(\*)$, [/mm] und schon steht es da.
Gruß,
Marcel
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